Negatiivinen binomijakauma

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Negatiivinen binomijakauma
Todennäköisyysfunktio
hochkant=2Pistetodennäköisyysfunktiot, kun r=10.
p=0.2 (sininen), p=0.5 (vihreä) ja p=0.8 (punainen)
Merkintä \mathrm{NB}(r,\,p)
Parametrit r > 0 odotetto onnistumiskerta
p ∈ (0,1) onnistumisen todennäköisyys
Määrittelyjoukko k ∈ { 0, 1, 2, 3, … } (epäonnistumisten lukumäärä)
Pistetodennäköisyysfunktio {k+r-1 \choose k}\cdot p^r (1-p)^k
Kertymäfunktio 1-I_{1-p}(k+1,\,r)
Odotusarvo \frac{r(1-p)}{p}
Moodi \left\lfloor\frac{(1-p)(r-1)}{p}\right\rfloor
Varianssi \frac{r(1-p)}{p^2}
Vinous \frac{2-p}{\sqrt{r(1-p)}}
Huipukkuus \frac{6}{r} + \frac{p^2}{r(1-p)}
Momentit generoiva funktio \left(\frac{p e^{s}}{1-(1-p) e^{s}}\right)^{r}\!\!\!, s<|\ln(1-p)|
Karakteristinen funktio \left(\frac{pe^{\mathrm{i}s}}{1-(1-p)e^{\mathrm{i}s}}\right)^{r}
Todennäköisyydet generoiva funktio \biggl(\frac{1-p}{1 - pz}\biggr)^{\!r} \text{ für alle }|z|<\frac1p

Negatiivinen binomijakauma on dikotomisen toistokokeen mielivaltaisen monennetta onnistumista edeltävien yritysten jakauma.

Negatiivinen binomijakauma on diskreetti ja sen arvojoukko on luonnollisten lukujen joukko. Jos satunnaismuuttuja X on negatiivisbinomijakautunut, merkitään

X \sim \operatorname{Negbin}(r,p) .

Jakauman parametri 0 \leq p \leq 1 on onnistumisen todennäköisyys, ja parametri r \in \mathbb{N} on odotettu onnistumiskerta. Pistetodennäköisyysfunktio on

\operatorname{P}(X=i) = {r+i-1 \choose i} p^r (1-p)^i .

Odotusarvo ja varianssi ovat

\operatorname{E}(X)=\frac{r(1-p)}{p} ja \operatorname{Var}(X)=\frac{r(1-p)}{p^2}.

Jos X_1 \sim \operatorname{Negbin}(r_1,p) ja X_2 \sim \operatorname{Negbin}(r_2,p) sekä X_1 ja X_2 ovat riippumattomia, niin X_1 + X_2 \sim \operatorname{Negbin}(r_1+r_2,p).

Negatiivisen binomijakauman yhteys geometriseen jakaumaan on

\operatorname{Negbin}(1,p) = \operatorname{Geom} (p) .

Jakauman nimi tulee pistetodennäköisyysfunktion samankaltaisuudesta binomijakaumaan, ja siitä että pistetodennäköisyysfunktion voi ilmaista negatiivisen binomikertoimen avulla

\operatorname{P}(X=i) = {-r \choose i} p^r (-(1-p))^i .

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]