Momenttifunktio

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Momenttifunktio [1] eli momentit generoiva funktio [1] eli momenttiemäfunktio [2] on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaismuuttujan jakaumasta määritelty funktio, joka on yleinen menetelmä laskea jakauman tunnuslukuja eli momentteja. Diskreetin jakauman momenttifunktio muodostetaan pistetodennäköisyysfunktion ja jatkuvan jakauman momenttifunktio tiheysfunktion avulla. Jakauma voidaan karakterisoida kätevästi käyttäen pelkästään momenttifunktiota.[1]

Momenttifunktiolla voidaan laskea jakauman momentit yksinkertaisella tavalla, sen avulla ratkeavat tietyt laskennalliset ja kombinatoriset ongelmat, sillä voidaan käsitellä yksinkertaisesti riippumattomien satunnaismuuttujien summia, helpottavat leveiden jakaumien todennäköisyyksien laskemista, yhdistää todennäköisyyslaskennan kompleksilukulaskentaan, helpottaa suurten lukujen lain soveltamista ja Markovin ketjujen analysointia.[3]

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos on diskreetti satunnaismuuttuja, satunnaismuuttujan perusjoukko ja sen pistetodennäköisyysfunktio. Silloin reaalimuuttujan funktio

on satunnaismuuttujan momenttifunktio kunhan odotusarvo

on olemassa avoimella välillä (). Luku määräytyy siten, että momenttifunktio on äärellisenä olemassa kaikilla välin arvoilla. Momenttifunktio on siten funktion kuvaus

[1][4][3]

Jatkuvan satunnaismuuttujan momenttifunktio määritellään vastaavalla tavalla

[5][4]

Momenttifunktion määrittämiseksi määrätyn integraalin eksponenttifunktio voidaan avata Taylorin sarjaksi, jolloin saadaan jatkuvassa tapauksessa lausekkeet

missä ... ovat momentteja (katso alla).[4]

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Diskreetti satunnaismuuttuja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Satunnaismuuttuja saa vain kolme arvoa todennäköisyyksillä vastaavasti. Silloin :n jakauman momenttifunktio on

kaikille [3]

Jatkuva satunnaismuuttuja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos satunnaismuuttuja on tasaisesti jakautunut välille [0,1], on sen tiheysfunktio tällä välillä Silloin momenttifunktio lasketaan

[6]

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Momenttifunktiolla on joitakin ominaisuuksia, joita voidaan käyttää hyödyksi yhden tai useamman satunnaismuuttujan jakaumissa. Merkitään satunnaismuuttujien ja momenttifunktioita ja .

  • Mikäli , niin
  • Jos (aina), niin
  • Jos muuttujan origon ympäristössä, on satunnaismuuttujilla ja sama jakauma.
  • Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomat, on niiden summan momenttifunktio Monitermiset summat muodostetaan vastaavalla tavalla.[7]

Todennäköisyydet generoiva funktio liittyy momenttifunktioihin seuraavasti:

[8]

Momentteja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: Momentti

Satunnaismuuttujien jakaumien tunnuslukujen joukossa on erilaisia momentteja. Yleensä halutaan käyttää tavallisia momentteja eli origomomentteja sekä ja keskusmomentteja missä Satunnaismuuttujalle voidaan muodostaa myös tekijämomentteja, jotka määritellään [1]

Momenttifunktio liittyy momentteihin siten, että momenttifunktion r. kertaluvun derivaattojen arvot kohdassa nolla antavat satunnaismuuttujan r. origomomentit: Origomomentit saadaan seuraavasti (eksponenttifunktion sarjamuodostelman merkinnöillä):[1][4]

  • , jolloin
  • , jolloin
  • , jolloin
  • , jolloin

Kaksiulotteinen yhteisjakauma[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Origomomentit generoiva funktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Diskreetit satunnaismuuttujat ja muodostavat yhteisjakauman todennäköisyysfunktiolla Yhteisjakauman momenttifunktio on myös kaksiarvoinen funktio

[9]

Jatkuvilla satunnaismuuttujilla momenttifunktio kirjoitetaan

[9]

Kun saadaan satunnaismuuttujan momenttifunktio

[9]

ja arvolla saadaan satunnaismuuttujan momenttifunktio Momenttifunktiosta muodostetaan tarvittavat origomomentit derivoimalla se vaihtelevilla tavoilla. Seuraavat osittaisderivaatat ovat hyödyllisiä:[9]

Keskusmomentit generoivat funktiot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yhden satunnaismuuttujan keskusmomentit kirjoitetaan ja niitä generoiva funktio vastaavasti

Näistä toinen derivaatta

on varianssi.

Kahden satunnaismuuttujan keskusmomentit kirjoitetaan ja niitä generoiva funktio vastaavasti

Näistä toinen osittaisderivaatta

on kovarianssi.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c d e f Liski, Erkki: Luku 3 Satunnaismuuttujat, ehdollistaminen ja riippumattomuus, s. 77−80, luennosta Matemaattinen tilastotiede, Tampereen yliopisto, 2005
  2. Rahiala, Markku: Satunnaismallien teoria, s. 14, Oulun yliopisto, 2002
  3. a b c Gamarnik, David & Tsitsiklis, John: Moment generating functions, luentomoniste "6.436J Fundamentals of Probability", Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, s. 1−3, 2008
  4. a b c d Weisstein, Eric W.: Moment-Generating Function (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. Liski, Erkki: Luku 5 Jatkuvat jakaumat, s. 151−160, luennosta Matemaattinen tilastotiede, Tampereen yliopisto, 2005
  6. Probability Cource: 6.1.3. Moment functions
  7. Gamarnik, David & Tsitsiklis, John: Moment generating functions, luentomoniste "6.436J Fundamentals of Probability", Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, s. 4−8, 2008
  8. Liski, Erkki: Luku 3 Satunnaismuuttujat, ehdollistaminen ja riippumattomuus, s. 94, luennosta Matemaattinen tilastotiede, Tampereen yliopisto, 2005
  9. a b c d Bowerman, S.: Joint, Marginal, And Conditional Distributions, luontomuistiinpanoja kurssista Fundamental Principles of Actuarial Science, Toronton Yliopisto, 2006

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]