Kertymäfunktio

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Diagrammissa on jatkuvan satunnaismuuttujan kuvaaja, johon on väritetty näkyviin tapahtuman "todennäköisyysmassat". Väritetyn alueen määrätty integraalit eli kuvaajan pinta-alat ovat suhteessa tapahtuman todennäköisyyteen.

Kertymäfunktio [1] eli jakaumafunktio [2] (engl. cumulative distribution function, cdf) on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä reaaliarvoisen satunnaismuuttujan todennäköisyyden jakautumista kuvaava funktio. Kertymäfunktion arvot ovat todennäköisyyksiä tapahtumissa, jossa satunnaismuuttuja saa reuna-arvon tai sitä pienempiä arvoja eli . Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa kertymäfunktio määritellään tiheysfunktion määrätyn integraalin avulla ja diskreetillä satunnaismuuttujalla pistetodennäköisyyksien summana. Kertymäfunktio on aina oikealta jatkuva, vaikka tiheysfunktio tai pistetodennäköisyysfunktio olisi epäjatkuva.[1][2][3]

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio määritellään

[2][3]

missä on pistetodennäköisyysfunktion arvo ylärajaa pienemmillä satunnaismuuttujan arvoilla.[3]

Jatkuvan satunnaismuuttujan kertymäfunktio määritellään määrättynä integraalina ylärajan suhteen

[1][3]

missä on satunnaismuuttujan tiheysfunktio. Tiheysfunktiota havainnollistetaan ajattelemalla sen arvoja "todennäköisyysmassan" korkeutena, missä suuri arvo merkitsee yleistä satunnaismuuttujan arvoa. Kertymäfunktion tapauksessa voidaan edelleen ajatella, että sen arvo tarkoittaisi "todennäköisyysmassan" kokonaismäärää kohdassa ja sitä pienemmillä satunnaismuuttujan arvoilla.[4][3]

Jos tiheysfunktio on jatkuva, saadaan se myös derivoimalla kertymäfunktio muuttujan suhteen

[1]

Merkintöjä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos halutaan korostaa kertymäfunktion satunnaismuuttujaa, merkitään satunnaismuuttuja usein alaindeksiksi ja Toisinaan merkitään kertymäfunktio kreikkalaisella aakkosella (lue: "fii"), jos tiheysfunktio on ollut (pieni kirjain).[4]

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ylin kuvaaja esittää diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktiota, keskimmäinen jatkuvan satunnaismuuttujan ja alin sellaisen satunnaismuuttujan, jolla on kumpaakin piirrettä.

Diskreetti satunnaismuuttuja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Diskreetin satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktiolla saa 10 nollasta eroavaa arvoa

kun jotka ovat yhtä suuret eli Kertymäfunktio saadaan arvoa x pienempien kohtien todennäköisyyksien summasta eli

[5][1]

Tämän porrasfunktion arvot ovat oikealta jatkuvia ja sen kuvaaja on esitetty alla.

Jatkuva satunnaismuuttuja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tasaisen jakauman tiheysfunktio välillä [a,b] on [6]

[1]

ja sen kertymäfunktioksi saadaan

[1]

Sen kuvaaja on alla.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktiona[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kertymäfunktio on kuvaus reaaliluvuilta välille , eli

[3]

Jatkuvan satunnaismuuttujan kertymäfunktio on jatkuva funktio. Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio on oikealta jatkuva porrasfunktio.[2] Jatkuvuudesta seuraa ominaisuus

Tämä ominaisuus voidaan kirjoittaa havainnollisemmin

[4]

Jatkuvan satunnaismuuttujan pistetodennäköisyys eli arvo yksittäisessä pisteessä on siten nolla eli

Koska kertymäfunktion arvot ovat tapahtumien todennäköisyyksiä, saa se vain arvoja väliltä

[1][3]

Kertymäfunktio on lisäksi monotoninen funktio, joka on ei-vähenevä eli

kun on . [1][3]

Tämän vuoksi kertymäfunktio kasvaa lopulta täyteen arvoonsa, kun ylärajaa kasvatetaan riittävästi

[3]

Kertymäfunktio alkaa nollasta jostakin arvosta a lähtien. Jos satunnaismuuttuja arvoalue on äärettömän laaja, voidaan tämä ilmaista

[3]

Todennäköisyyksinä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Edellä esitelty määritelmä on eräs tapa ilmaista tapahtuma, jossa todennäköisyys lasketaan käyttämällä satunnaismuuttujan ylärajana eli

Voidaan osoittaa, että sillä voidaan laskea kaikki sellaiset todennäköisyydet, jossa tapahtumat ovat välejä. Esimerkiksi, koska mielivaltaiselle satunnaismuuttujan arvolle pätee

[4]

voidaan vastatapahtuman todennäköisyys laskea

[3]

Toisaalta, koska mielivaltaisille satunnaismuuttujan arvoille ja pätee

[4]

voidaan välin todennäköisyys laskea

[3]

Jos kertymäfunktio olisi määritelty toisella tavalla, olisi siihenkin voitu johtaa kaikkien muidenkin välien todennäköisyydet.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c d e f g h i Kivelä, Simo K.: Kertymäfunktio, M niin kuin matematiikka, 10.8.2000
  2. a b c d Ruskeapää, Heikki: Todennäköisyyslaskenta I(luentomoniste), Turun Yliopisto, 2012
  3. a b c d e f g h i j k l Melin, Ilkka: Kertymäfunktio, Todennäköisyyslaskennan kurssimateriaali, Aalto-yliopisto, 2007
  4. a b c d e Alatupa, Sami et al.: Pitkä Sigma 3, s. 154−164. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Otava, 2010. ISBN 978-951-31-5343-4.
  5. Alatupa, Sami et al.: Pitkä Sigma 3, s. 43−60. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Otava, 2010. ISBN 978-951-31-5343-4.
  6. Mathworld: Uniform Distribution