Jatkuva funktio

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Funktio, joka ei ole jatkuva (epäjatkuva funktio) yhdessä kohdassa. Kohtaa, jossa jatkuvuutta ei ole, kutsutaan epäjatkuvuuskohdaksi.

Jatkuvuus on funktioon liittyvä topologinen peruskäsite. Intuitiivisesti funktio on jatkuva, jos sen arvot eivät muutu äkillisesti minkään pisteen ympäristössä. Tällaisen funktion kuvaaja on silloin yhtenäinen eikä katkea missään kohdassa. On kuitenkin tapauksia, jossa funktio on jatkuva vaikka kuvaajan ulkonäkö on poikkeava. Jatkuvuuden tarkempi määrittäminen vaatiikin matemaattisempia käsitteitä. Funktion jatkuvuus voidaan määritellä usealla eri tavalla, riippuen siitä miten yleisellä tasolla funktioita halutaan tarkastella.

Yhden reaalimuuttujan tapaus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Nk. εδ-määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Intuitiivisesti funktion jatkuvuus tietyssä pisteessä tarkoittaa sitä, että on lähellä arvoa aina, kun piste on lähellä pistettä . Tähän intuitioon perustuu nk. jatkuvuuden -määritelmä (kreikk. ''epsilon'' ja ''delta''), joka on seuraava:

Olkoon väli, ja . Funktio on jatkuva pisteessä , jos kaikilla on olemassa siten, että

,

kun ja .[1]

Luku riippuu tapauskohtaisesti joko :sta, :stä, :sta tai kaikista näistä. Luku ei saa riippua funktiosta tai pisteestä, sillä määritelmän ehdon tulee täyttyä kaikilla (siis erityisesti hyvin pienillä :n arvoilla). Käytännössä -määritelmä tarkoittaa sitä, että :n pienuudesta huolimatta jatkuvan funktion graafi jää aina suorien ja väliin pisteen lähellä.[1]

Jatkuvuus toispuoleisten raja-arvojen avulla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktio on jatkuva pisteessä , jos ja vain jos sen raja-arvo tässä pisteessä on olemassa ja on yhtä suuri funktion arvon kanssa tässä kohdassa. Jotta raja-arvo olisi olemassa pisteessä , on vasemman- ja oikeanpuoleisten raja-arvojen oltava yhtä suuret tässä pisteessä:

.

Funktio on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa määrittelyjoukkonsa pisteessä, eli siinä ei ole epäjatkuvuuskohtia. Funktion jatkuvuus on välttämätön, mutta ei riittävä ehto funktion derivoituvuudelle. Toisin sanoen derivoituva funktio on aina jatkuva, mutta jatkuva funktio ei ole aina derivoituva.

Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jatkuvia funktioita voidaan konstruoida muista jatkuvista funktioista yhteenslaskun, kertolaskun ja tietyissä tapauksissa jakolaskun avulla. Jos on väli, sekä ja jatkuvia funktioita pisteessä , niin:[2]

  1. summafunktio on jatkuva pisteessä
  2. tulofunktio on jatkuva pisteessä
  3. tulofunktio , missä on vakio, on jatkuva pisteessä
  4. rationaalifunktio on jatkuva pisteessä , jos
  5. itseisarvofunktio on jatkuva pisteessä

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Vakiofunktio , on jatkuva koko määrittelyjoukossaan.
  • Polynomifunktio , on jatkuva koko määrittelyjoukossaan riippumatta polynomin asteesta .[3]
  • Funktio on määritelty, kun . Funktio on jatkuva koko määrittelyjoukossaan.
  • Funktio on kaikkialla jatkuva, mutta se ei ole derivoituva kohdassa .

Jatkuvuus metrisissä avaruuksissa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoot ja metrisiä avaruuksia. Funktio on jatkuva pisteessä (metriikoiden ja suhteen), jos jokaista positiivilukua kohti on olemassa positiiviluku siten, että aina kun . Muodollisesti ilmaistuna funktio on jatkuva pisteessä , jos

Funktio on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa joukon pisteessä. Kun tarkastellaan joukkoja ja topologisina avaruuksina, joissa topologiat ovat metriikoiden ja indusoimia, niin yllä esitetyt määritelmät yhtyvät.

Jatkuvuus topologisissa avaruuksissa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktio , missä ja ovat topologisia avaruuksia, on jatkuva pisteessä , jos ja vain jos jokaista pisteen ympäristöä kohti on olemassa pisteen ympäristö siten, että . Funktio on jatkuva funktio, jos se on jatkuva jokaisessa avaruuden pisteessä. Yhtäpitävästi, funktio on jatkuva, jos ja vain jos jokaisen avoimen joukon alkukuva on avoin avaruudessa .

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b Kilpeläinen, Tero: Analyysi 1 (s. 40 − 41) 2000 / 2002. Jyväskylän yliopisto. Viitattu 21.3.2017.
  2. Kilpeläinen, s. 44
  3. Kilpeläinen, s. 47
  • Weisstein, Eric W.: Continuous (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  • Weisstein, Eric W.: Continuous Function (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus. Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry, 2015. ISBN 978-952-7010-12-9.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.