Jatkuva funktio

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Funktio, joka ei ole jatkuva (epäjatkuva funktio) yhdessä kohdassa. Kohtaa, jossa jatkuvuutta ei ole, kutsutaan epäjatkuvuuskohdaksi.

Jatkuvuus on funktioon liittyvä topologinen peruskäsite. Intuitiivisesti funktio on jatkuva, jos sen arvot eivät muutu äkillisesti minkään pisteen ympäristössä. Tällaisen funktion kuvaaja on silloin yhtenäinen eikä katkea missään kohdassa. On kuitenkin tapauksia, jossa funktio on jatkuva vaikka kuvaajan ulkonäkö on poikkeava. Jatkuvuuden tarkempi määrittäminen vaatiikin matemaattisempia käsitteitä. Funktion jatkuvuus voidaan määritellä usealla eri tavalla, riippuen siitä miten yleisellä tasolla funktioita halutaan tarkastella.

Yhden reaalimuuttujan tapaus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktio Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} on jatkuva pisteessä Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): a , jos ja vain jos sen raja-arvo tässä pisteessä on olemassa ja on yhtä suuri funktion arvon kanssa tässä kohdassa. Jotta raja-arvo olisi olemassa pisteessä Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): a , on vasemman- ja oikeanpuoleisten raja-arvojen oltava yhtä suuret tässä pisteessä:

Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \lim _{{x\to \ a-}}f(x)=\lim _{{x\to \ a+}}f(x)=f(a) .

Funktio on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa määrittelyjoukkonsa pisteessä, eli siinä ei ole epäjatkuvuuskohtia. Funktion jatkuvuus on välttämätön, mutta ei riittävä ehto funktion derivoituvuudelle. Toisin sanoen derivoituva funktio on aina jatkuva, mutta jatkuva funktio ei ole aina derivoituva.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Funktio Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): f(x)={\frac {1}{x}} on määritelty, kun Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): x\neq 0 . Funktio on jatkuva koko määrittelyjoukossaan.
  • Funktio Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): f(x)=|x| on kaikkialla jatkuva, mutta se ei ole derivoituva kohdassa Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): x=0 .

Jatkuvuus metrisissä avaruuksissa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoot Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): (X,d) ja Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): (Y,d') metrisiä avaruuksia. Funktio Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): f:X\rightarrow Y on jatkuva pisteessä Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): x\in X (metriikoiden Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): d ja Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): d' suhteen), jos jokaista positiivilukua Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \varepsilon kohti on olemassa positiiviluku Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \delta siten, että Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): d'(f(x),f(z))<\varepsilon aina kun Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): d(x,z)<\delta . Muodollisesti ilmaistuna funktio Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): f on jatkuva pisteessä Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): x , jos

Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \forall \ \varepsilon >0\ \exists \ \delta >0:\ d(x,z)<\delta \Rightarrow d'(f(x),f(z))<\varepsilon .

Funktio on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa joukon Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): X pisteessä. Kun tarkastellaan joukkoja Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): X ja Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): Y topologisina avaruuksina, joissa topologiat ovat metriikoiden Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): d ja Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): d' indusoimia, niin yllä esitetyt määritelmät yhtyvät.

Jatkuvuus topologisissa avaruuksissa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktio Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): f:X\rightarrow Y , missä Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): X ja Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): Y ovat topologisia avaruuksia, on jatkuva pisteessä Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): a\in X , jos ja vain jos jokaista pisteen Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): f(a)\in Y ympäristöä Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): V kohti on olemassa pisteen Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): a ympäristö Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): U siten, että Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): f(U)\subset V . Funktio Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): f on jatkuva funktio, jos se on jatkuva jokaisessa avaruuden Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): X pisteessä. Yhtäpitävästi, funktio Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): f on jatkuva, jos ja vain jos jokaisen Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): Y avoimen joukon Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): V alkukuva Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): f^{{-1}}(V) on avoin avaruudessa Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): X .

Lähteitä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Weisstein, Eric W.: Continuous (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  • Weisstein, Eric W.: Continuous Function (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.