Vakiofunktio

Vakiofunktio on matematiikassa sellainen funktio, joka saa kaikilla muuttujan arvoilla aina saman arvon. Tällaisen funktion kuvaaja on vaakasuora eli se muistuttaa siinä mielessä lineaarista funktiota. Jos vakiofunktion arvoksi tulee aina c, voidaan kirjoittaa

$f(x)=c\,$

missä c on reaaliluku.

Koordinaatistossa on kolmen vakiofunktion kuvaajaa. Ne ovat f(x)=8, g(x)=4,2 ja h(x)=-3,6

Esimerkkejä vakiofunktioista

Vakiofunktiot ovat lineaarisen funktion erikoistapauksia, jossa kulmakerroin a = 0. Funktion lauseke sivenee tällöin

$f(x)=ax+b=0x+b=b$

Samoin voidaan ajatella potenssifunktion, jonka asteluku on 0, olevan vakiofunktio

$f(x)=ax^{0}=a\cdot 1=a$

Nollafunktio saa vain arvon 0 ja on siten vakiofunktioiden erikoistapaus.

Trigonometriassa funktio

$f(x)=sin^{2}x+cos^{2}x$

saa aina arvon 1 ja on siksi vakiofunktio.

Yleisiä ominaisuuksia

Vakiofunktio on määritelty kaikilla luvuilla, joten lähtöjoukoksi voidaan valita kaikki reaaliluvut $\mathbb {R}$. Vakiofunktion $f$ kuvaus on surjektio, jos maalijoukkossa on vain luku $c$

$f:\mathbb {R} \to \{c\}$,

mutta kuvaus ei ole koskaan injektio, koska vähintään kaksi lukua (eli tässä tapauksessa kaikki luvut) kuvautuvat samaksi maalijoukon alkioksi $c$. Tämän vuoksi vakiofunktio ei ole myöskään bijektio.

Vakiofunktiolla ei ole nollakohtia paitsi nollafunktiolla, jolla nollakohtia on koko reaalilukujoukko.

Jos vakiofunktio f(x) = c on yhdistetyssä funktiossa, on tuloksena vakiofunktio:

$(f\circ g)(x)=c\quad tai\quad (g\circ f)(x)=a\quad a,c\in \mathbb {R}$

Vakiofunktio on monotoninen funktio. Se voidaan tulkita sekä monotonisesti kasvavaksi- että väheneväksi funktioksi. Se on myös parillinen funktio. Ainoa vakiofunktio, joka on myös pariton funktio, on nollafunktio.

Vakiofunktion derivaatta on

$f'(x)=Dc=0$

on aina nolla eli nollafunktio.

Vakiofunktion integraalifunktio

$F(x)=\int c\ dx=cx+C$

on lineaarinen funktio.

Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus. Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry, 2015. ISBN 978-952-7010-12-9, ISBN 978-952-7010-13-6. Teoksen verkkoversio (pdf).

Aiheesta muualla

• Internetix: Vakiofunktio