Monotoninen funktio

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Monotoninen funktio on matematiikassa funktio, jonka arvot pelkästään kasvavat tai vähenevät määrittelyjoukossaan.

Määritelmästä voidaan erottaa kaksi erillistä tapausta:

  • Funktio on monotonisesti kasvava, jos muuttujan arvojen kasvaessa myös funktion arvot kasvavat, eli jos siitä seuraa .
  • Funktio on monotonisesti vähenevä, jos muuttujan arvojen kasvaessa funktion arvot sen sijaan vähenevät, eli jos siitä seuraa .

Kummatkin tapaukset sisältyvät yleiseen määritelmään monotonisesta funktiosta.

Funktio on aidosti monotoninen, jos se on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä:

  • Funktio on aidosti kasvava, kun jos niin silloin .
  • Funktio on aidosti vähenevä, kun jos niin silloin .

Reaaliluvuilla aidosti monotoninen funktio on samalla bijektio määrittelyjoukolta arvojoukolleen. Se ei kuitenkaan välttämättä ole :n bijektio :lle, sillä esimerkiksi eksponenttifunktio ex on aidosti kasvava, mutta ei millään reaalilukuarvolla saa negatiivisia arvoja.

Monotonisesti kasvava funktio, joka ei ole kuitenkaan aidosti kasvava
Monotonisesti vähenevä funktio, joka ei ole kuitenkaan aidosti vähenevä
Funktio, joka alussa aidosti vähenevä, sitten kasvava ja lopuksi vähenevä.

Monotonisuuden tutkiminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Määritelmä antaa tyydyttävän perusteen selvittää tavallisen yksiarvoisen funktion monotonisuutta. Käytännössä on kuitenkin mahdotonta todistaa yksittäinen funktio monotoniseksi, koska silloin täytyisi osoittaa kaikille lukupareille ja määritelmä todeksi. Käytännössä määritelmää käytetään osoittamaan jokin funktion monotonisuus epätodeksi.

Käytännössä monotonisuus osoitetaan erotusosamäärän

avulla. Jos eli kaikille lukupareille ja , niin määritelmän mukaan aidosti kasvavalle funktiolle pätee silloin aina eli myös . Jakamalla kummatkin erotukset, saadaan osamäärä positiiviseksi, jos molemmat erotukset ovat samanmerkkiset. Funktio on tällöin aidosti kasvava. Jos erotuksien merkit ovat erit, saadaan osamääräksi negatiivinen ja funktio on aidosti vähenevä.

Erotusosamäärän testaaminen eri lukupareilla ei ole käytännöllistä, vaan erotusosamäärän lauseke muutetaan funktion derivaattafunktioksi toisen pisteen suhteen

tai vaihtamalla merkintöjä niin, että esitetään derivaattafunktion lauseke kohdassa x

.

Derivaattafunktion ominaisuuksia tutkimalla voidaan päätellä monotonisuuden laatua ja vaihtumista. Monotonisuuden voi jaotella derivaattafunktion ominaisuuksien mukaan koko tarkasteluvälillä seuraavasti:

  • Jos , on funktio aidosti kasvava.
  • Jos , on funktio kasvava.
  • Jos , on funktio aidosti vähenevä.
  • Jos , on funktio vähenevä.

Esimerkkejä monotonisista funktioista[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aidosti kasvavia alkeisfunktioita koko laajimmassa määrittelyjoukossaan ovat muun muassa muut eksponenttifunktiot (kantaluku > 1), logaritmifunktio, parittomat potenssifunktiot, juurifunktiot, tangenttifunktio ja arcustangenttifunktio.

Aidosti väheneviä alkeisfunktioita ovat muun muassa muut laskevat lineaariset funktiot ja eksponenttifunktiot (0 < kantaluku < 1).

Eksponenttifunktio on aidosti kasvava funktio koko reaalilukualueessa. Negatiivisilla x:n arvoilla funktion kasvuvauhti on pieni, mutta positiivisilla arvoilla se kasvaa nopeasti. Eksponenttifunktion derivaattafunktio on myös eksponenttifunktio , joka on positiivinen eli kaikilla x:n arvoilla. Tämä täyttää monotonisuusehdon.

Eksponenttifunktion kuvaaja
Toisen asteen potenssifunktion kuvaaja on paraabeli.

Toisen asteen potenssifunktio ei ole monotoninen funktio. Kuvaajasta nähdään, että funktion arvot vähenevät negatiivisilla x:n arvoilla ja kasvavat positiivisilla x:n arvoilla. Jos määrittelyjoukkosta poistettaisiin kaikki negatiiviset luvut, olisi kuvaus

aidosti kasvava funktio. Negatiivisilla arvoilla kuvaus

olisi aidosti vähenevä funktio.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus. Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry, 2015. ISBN 978-952-7010-12-9, ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).