Monotoninen funktio

Monotoninen funktio on matematiikassa funktio, jonka arvot pelkästään kasvavat tai vähenevät määrittelyjoukossaan.

Määritelmästä voidaan erottaa kaksi erillistä tapausta:

• Funktio on monotonisesti kasvava, jos muuttujan arvojen kasvaessa myös funktion arvot kasvavat, eli jos $x_1 < x_2$ siitä seuraa $f(x_1) \leq f(x_2)$.
• Funktio on monotonisesti vähenevä, jos muuttujan arvojen kasvaessa funktion arvot sen sijaan vähenevät, eli jos $x_1 < x_2$ siitä seuraa $f(x_1) \geq f(x_2)$.

Kummatkin tapaukset sisältyvät yleiseen määritelmään monotonisesta funktiosta.

Funktio on aidosti monotoninen, jos se on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä:

• Funktio on aidosti kasvava, kun jos $x_1 < x_2$ niin silloin $f(x_1) < f(x_2)$.
• Funktio on aidosti vähenevä, kun jos $x_1 < x_2$ niin silloin $f(x_1) > f(x_2)$.

Reaaliluvuilla aidosti monotoninen funktio on samalla bijektio määrittelyjoukolta arvojoukolleen. Se ei kuitenkaan välttämättä ole $\mathbb{R}$:n bijektio $\mathbb{R}$:lle, sillä esimerkiksi eksponenttifunktio e^x on aidosti kasvava, mutta ei millään reaalilukuarvolla saa negatiivisia arvoja.

Monotonisesti kasvava funktio, joka ei ole kuitenkaan aidosti kasvava

Monotonisesti vähenevä funktio, joka ei ole kuitenkaan aidosti vähenevä

Funktio, joka alussa aidosti vähenevä, sitten kasvava ja lopuksi vähenevä.

Monotonisuuden tutkiminen

Määritelmä antaa tyydyttävän perusteen selvittää tavallisen yksiarvoisen funktion monotonisuutta. Käytännössä on kuitenkin mahdotonta todistaa yksittäinen funktio monotoniseksi, koska silloin täytyisi osoittaa kaikille lukupareille $x_1$ ja $x_2$ määritelmä todeksi. Käytännössä määritelmää käytetään osoittamaan jokin funktion monotonisuus epätodeksi.

Käytännössä monotonisuus osoitetaan erotusosamäärän

${f(x_1)-f(x_0)\over x_1-x_0}$

avulla. Jos $x_2>x_1$ eli $x_2-x_1 >0$ kaikille lukupareille $x_1$ ja $x_2$, niin määritelmän mukaan aidosti kasvavalle funktiolle pätee silloin aina $f(x_2)>f(x_1)$ eli myös $f(x_2)-f(x_1)>0$. Jakamalla kummatkin erotukset, saadaan osamäärä positiiviseksi, jos molemmat erotukset ovat samanmerkkiset. Funktio on tällöin aidosti kasvava. Jos erotuksien merkit ovat erit, saadaan osamääräksi negatiivinen ja funktio on aidosti vähenevä.

Erotusosamäärän testaaminen eri lukupareilla ei ole käytännöllistä, vaan erotusosamäärän lauseke muutetaan funktion $f(x)$ derivaattafunktioksi $f'(x_2)$ toisen pisteen $x_2$ suhteen

$f'(x_2)=\lim_{x_1\to x_2}{f(x_2)-f(x_1)\over x_2-x_1}$

tai vaihtamalla merkintöjä niin, että esitetään derivaattafunktion lauseke kohdassa x

$f'(x)=\lim_{x\to a}{f(x)-f(a)\over x-a}$.

Derivaattafunktion $f'(x)$ ominaisuuksia tutkimalla voidaan päätellä monotonisuuden laatua ja vaihtumista. Monotonisuuden voi jaotella derivaattafunktion ominaisuuksien mukaan koko tarkasteluvälillä seuraavasti:

• Jos $f'(x)>0$, on funktio aidosti kasvava.
• Jos $f'(x) \ge 0$, on funktio kasvava.
• Jos $f'(x)<0$, on funktio aidosti vähenevä.
• Jos $f'(x) \le 0$, on funktio vähenevä.

Esimerkkejä monotonisista funktioista

Aidosti kasvavia alkeisfunktioita koko laajimmassa määrittelyjoukossaan ovat muun muassa muut eksponenttifunktiot (kantaluku > 1), logaritmifunktio, parittomat potenssifunktiot, juurifunktiot, tangenttifunktio ja arcustangenttifunktio.

Aidosti väheneviä alkeisfunktioita ovat muun muassa muut laskevat lineaariset funktiot ja eksponenttifunktiot (0 < kantaluku < 1).

Eksponenttifunktio $f(x) = e^x$ on aidosti kasvava funktio koko reaalilukualueessa. Negatiivisilla x:n arvoilla funktion kasvuvauhti on pieni, mutta positiivisilla arvoilla se kasvaa nopeasti. Eksponenttifunktion derivaattafunktio on myös eksponenttifunktio $f'(x) = e^x$, joka on positiivinen eli $e^x > 0$ kaikilla x:n arvoilla. Tämä täyttää monotonisuusehdon.

Eksponenttifunktion kuvaaja

Toisen asteen potenssifunktion kuvaaja on paraabeli.

Toisen asteen potenssifunktio $g(x) = x^2$ ei ole monotoninen funktio. Kuvaajasta nähdään, että funktion arvot vähenevät negatiivisilla x:n arvoilla ja kasvavat positiivisilla x:n arvoilla. Jos määrittelyjoukkosta poistettaisiin kaikki negatiiviset luvut, olisi kuvaus

$x^2:\mathbb{R_+} \to \mathbb{R}$

aidosti kasvava funktio. Negatiivisilla arvoilla kuvaus

$x^2:\mathbb{R_-} \to \mathbb{R}$

olisi aidosti vähenevä funktio.

Lähteet

• Tampereen Teknillinen Korkeakoulu: Funktion ominaisuuksia
• Jyväskylän yliopisto: Funktion monotonisuus
• Helsingin yliopisto: Matematiikan tukikurssi, #8
• Wolframs Mathworld: Monotonic functions
• Connexions: Monotonic functions
• Swarthmore: Monotonic functions
• Math eCources: Monotonic functions