Monotoninen funktio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Monotoninen funktio on matematiikassa funktio, jonka arvot pelkästään kasvavat tai vähenevät määrittelyjoukossaan.

Määritelmästä voidaan erottaa kaksi erillistä tapausta:

  • Funktio on monotonisesti kasvava, jos muuttujan arvojen kasvaessa myös funktion arvot kasvavat, eli jos x_1 < x_2 siitä seuraa f(x_1) \leq f(x_2).
  • Funktio on monotonisesti vähenevä, jos muuttujan arvojen kasvaessa funktion arvot sen sijaan vähenevät, eli jos x_1 < x_2 siitä seuraa f(x_1) \geq f(x_2).

Kummatkin tapaukset sisältyvät yleiseen määritelmään monotonisesta funktiosta.

Funktio on aidosti monotoninen, jos se on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä:

  • Funktio on aidosti kasvava, kun jos x_1 < x_2 niin silloin f(x_1) < f(x_2).
  • Funktio on aidosti vähenevä, kun jos x_1 < x_2 niin silloin f(x_1) > f(x_2).

Reaaliluvuilla aidosti monotoninen funktio on samalla bijektio määrittelyjoukolta arvojoukolleen. Se ei kuitenkaan välttämättä ole \mathbb{R}:n bijektio \mathbb{R}:lle, sillä esimerkiksi eksponenttifunktio ex on aidosti kasvava, mutta ei millään reaalilukuarvolla saa negatiivisia arvoja.

Monotonisesti kasvava funktio, joka ei ole kuitenkaan aidosti kasvava
Monotonisesti vähenevä funktio, joka ei ole kuitenkaan aidosti vähenevä
Funktio, joka alussa aidosti vähenevä, sitten kasvava ja lopuksi vähenevä.

Monotonisuuden tutkiminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Määritelmä antaa tyydyttävän perusteen selvittää tavallisen yksiarvoisen funktion monotonisuutta. Käytännössä on kuitenkin mahdotonta todistaa yksittäinen funktio monotoniseksi, koska silloin täytyisi osoittaa kaikille lukupareille x_1 ja x_2 määritelmä todeksi. Käytännössä määritelmää käytetään osoittamaan jokin funktion monotonisuus epätodeksi.

Käytännössä monotonisuus osoitetaan erotusosamäärän

{f(x_1)-f(x_0)\over x_1-x_0}

avulla. Jos x_2>x_1 eli x_2-x_1 >0 kaikille lukupareille x_1 ja x_2, niin määritelmän mukaan aidosti kasvavalle funktiolle pätee silloin aina f(x_2)>f(x_1) eli myös f(x_2)-f(x_1)>0. Jakamalla kummatkin erotukset, saadaan osamäärä positiiviseksi, jos molemmat erotukset ovat samanmerkkiset. Funktio on tällöin aidosti kasvava. Jos erotuksien merkit ovat erit, saadaan osamääräksi negatiivinen ja funktio on aidosti vähenevä.

Erotusosamäärän testaaminen eri lukupareilla ei ole käytännöllistä, vaan erotusosamäärän lauseke muutetaan funktion f(x) derivaattafunktioksi f'(x_2) toisen pisteen x_2 suhteen

f'(x_2)=\lim_{x_1\to x_2}{f(x_2)-f(x_1)\over x_2-x_1}

tai vaihtamalla merkintöjä niin, että esitetään derivaattafunktion lauseke kohdassa x

f'(x)=\lim_{a\to x}{f(x)-f(a)\over x-a}.

Derivaattafunktion f'(x) ominaisuuksia tutkimalla voidaan päätellä monotonisuuden laatua ja vaihtumista. Monotonisuuden voi jaotella derivaattafunktion ominaisuuksien mukaan koko tarkasteluvälillä seuraavasti:

  • Jos f'(x)>0, on funktio aidosti kasvava.
  • Jos f'(x) \ge 0, on funktio kasvava.
  • Jos f'(x)<0, on funktio aidosti vähenevä.
  • Jos f'(x) \le 0, on funktio vähenevä.

Esimerkkejä monotonisista funktioista[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aidosti kasvavia alkeisfunktioita koko laajimmassa määrittelyjoukossaan ovat muun muassa muut eksponenttifunktiot (kantaluku > 1), logaritmifunktio, parittomat potenssifunktiot, juurifunktiot, tangenttifunktio ja arcustangenttifunktio.

Aidosti väheneviä alkeisfunktioita ovat muun muassa muut laskevat lineaariset funktiot ja eksponenttifunktiot (0 < kantaluku < 1).

Eksponenttifunktio f(x) = e^x on aidosti kasvava funktio koko reaalilukualueessa. Negatiivisilla x:n arvoilla funktion kasvuvauhti on pieni, mutta positiivisilla arvoilla se kasvaa nopeasti. Eksponenttifunktion derivaattafunktio on myös eksponenttifunktio f'(x) = e^x, joka on positiivinen eli e^x > 0 kaikilla x:n arvoilla. Tämä täyttää monotonisuusehdon.

Eksponenttifunktion kuvaaja
Toisen asteen potenssifunktion kuvaaja on paraabeli.

Toisen asteen potenssifunktio g(x) = x^2 ei ole monotoninen funktio. Kuvaajasta nähdään, että funktion arvot vähenevät negatiivisilla x:n arvoilla ja kasvavat positiivisilla x:n arvoilla. Jos määrittelyjoukkosta poistettaisiin kaikki negatiiviset luvut, olisi kuvaus

x^2:\mathbb{R_+} \to \mathbb{R}

aidosti kasvava funktio. Negatiivisilla arvoilla kuvaus

x^2:\mathbb{R_-} \to \mathbb{R}

olisi aidosti vähenevä funktio.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]