Monotoninen funktio

Monotoninen funktio on matematiikassa funktio, jonka arvot pelkästään kasvavat tai vähenevät määrittelyjoukossaan.

Määritelmästä voidaan erottaa kaksi erillistä tapausta:

• Funktio on monotonisesti kasvava, jos muuttujan arvojen kasvaessa myös funktion arvot kasvavat, eli jos $x_{1}<x_{2}$ siitä seuraa $f(x_{1})\leq f(x_{2})$.
• Funktio on monotonisesti vähenevä, jos muuttujan arvojen kasvaessa funktion arvot sen sijaan vähenevät, eli jos $x_{1}<x_{2}$ siitä seuraa $f(x_{1})\geq f(x_{2})$.

Kummatkin tapaukset sisältyvät yleiseen määritelmään monotonisesta funktiosta.

Funktio on aidosti monotoninen, jos se on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä:

• Funktio on aidosti kasvava, kun jos $x_{1}<x_{2}$ niin silloin $f(x_{1})<f(x_{2})$.
• Funktio on aidosti vähenevä, kun jos $x_{1}<x_{2}$ niin silloin $f(x_{1})>f(x_{2})$.

Reaaliluvuilla aidosti monotoninen funktio on samalla bijektio määrittelyjoukolta arvojoukolleen. Se ei kuitenkaan välttämättä ole $\mathbb {R}$:n bijektio $\mathbb {R}$:lle, sillä esimerkiksi eksponenttifunktio e^x on aidosti kasvava, mutta se ei saa millään reaalilukuarvolla negatiivisia arvoja.

Monotonisesti kasvava funktio, joka ei ole kuitenkaan aidosti kasvava

Monotonisesti vähenevä funktio, joka ei ole kuitenkaan aidosti vähenevä

Funktio, joka alussa aidosti vähenevä, sitten kasvava ja lopuksi vähenevä.

Monotonisuuden tutkiminen

Määritelmä antaa tyydyttävän perusteen selvittää tavallisen yksiarvoisen funktion monotonisuutta. Käytännössä on kuitenkin mahdotonta todistaa yksittäinen funktio monotoniseksi, koska silloin täytyisi osoittaa kaikille lukupareille $x_{1}$ ja $x_{2}$ määritelmä todeksi. Käytännössä määritelmää käytetään osoittamaan jokin funktion monotonisuus epätodeksi.

Käytännössä monotonisuus osoitetaan erotusosamäärän

${f(x_{2})-f(x_{1}) \over x_{2}-x_{1}}$

avulla. Jos $x_{2}>x_{1}$ eli $x_{2}-x_{1}>0$ kaikille lukupareille $x_{1}$ ja $x_{2}$, niin määritelmän mukaan aidosti kasvavalle funktiolle pätee silloin aina $f(x_{2})>f(x_{1})$ eli myös $f(x_{2})-f(x_{1})>0$. Muodostettu erotuksien osamäärä tulee positiiviseksi, jos molemmat erotukset ovat saman merkkiset. Funktio on tällöin aidosti kasvava. Jos erotuksien merkit ovat erit, tulee osamäärä negatiiviseksi ja funktio on aidosti vähenevä.

Erotusosamäärän testaaminen eri lukupareilla ei ole käytännöllistä, vaan erotusosamäärän lauseke muutetaan funktion $f(x)$ derivaattafunktioksi $f'(x_{2})$ toisen pisteen $x_{2}$ suhteen

$f'(x_{2})=\lim _{x_{1}\to x_{2}}{f(x_{2})-f(x_{1}) \over x_{2}-x_{1}}$

tai vaihtamalla merkintöjä niin, että esitetään derivaattafunktion lauseke kohdassa x

$f'(x)=\lim _{x\to a}{f(x)-f(a) \over x-a}$.

Derivaattafunktion $f'(x)$ ominaisuuksia tutkimalla voidaan päätellä monotonisuuden laatua ja vaihtumista. Monotonisuuden voi jaotella derivaattafunktion ominaisuuksien mukaan koko tarkasteluvälillä seuraavasti:

• Jos $f'(x)>0$, on funktio aidosti kasvava.
• Jos $f'(x)\geq 0$, on funktio kasvava.
• Jos $f'(x)<0$, on funktio aidosti vähenevä.
• Jos $f'(x)\leq 0$, on funktio vähenevä.

Aito monotonisuus täsmällisesti määriteltynä: derivoituva funktio $f$ on aidosti kasvava, kun $f'(x)\geq 0$ ja jos ei ole olemassa väliä, jolla $f'(x)=0$. Esimerkiksi funktio $x^{3}$ on aidosti kasvava, vaikka sen derivaattafunktio ei ole kaikkialla suurempi kuin 0. Kyseisen funktion derivaatta onkin 0 vain yksittäisessä pisteessä: $f'(x)=3x^{2}\implies f'(0)=3\cdot 0^{2}=0$. Ja $f'(x)>0$, kun $x\neq 0$. Funktion derivaatta voi siis olla yksittäisissä pisteissä 0 ilman, että $f$ menettää aidon monotonisuutensa.

Vastaavasti (derivoituva) funktio on aidosti vähenevä, kun $f'(x)\leq 0$ ja jos ei ole olemassa väliä, jolla $f'(x)=0$.

Esimerkkejä monotonisista funktioista

Aidosti kasvavia alkeisfunktioita koko laajimmassa määrittelyjoukossaan ovat muun muassa muut eksponenttifunktiot (kantaluku > 1), logaritmifunktio, parittomat potenssifunktiot, juurifunktiot, tangenttifunktio ja arcustangenttifunktio.

Aidosti väheneviä alkeisfunktioita ovat muun muassa muut laskevat lineaariset funktiot ja eksponenttifunktiot (0 < kantaluku < 1).

Eksponenttifunktio $f(x)=e^{x}$ on aidosti kasvava funktio koko reaalilukualueessa. Negatiivisilla x:n arvoilla funktion kasvuvauhti on pieni, mutta positiivisilla arvoilla se kasvaa nopeasti. Eksponenttifunktion derivaattafunktio on myös eksponenttifunktio $f'(x)=e^{x}$, joka on positiivinen eli $e^{x}>0$ kaikilla x:n arvoilla. Tämä täyttää monotonisuusehdon.

Eksponenttifunktion kuvaaja

Toisen asteen potenssifunktion kuvaaja on paraabeli.

Toisen asteen potenssifunktio $g(x)=x^{2}$ ei ole monotoninen funktio. Kuvaajasta nähdään, että funktion arvot vähenevät negatiivisilla x:n arvoilla ja kasvavat positiivisilla x:n arvoilla. Jos määrittelyjoukkosta poistettaisiin kaikki negatiiviset luvut, olisi kuvaus

$x^{2}:\mathbb {R_{+}} \to \mathbb {R}$

aidosti kasvava funktio. Negatiivisilla arvoilla kuvaus

$x^{2}:\mathbb {R_{-}} \to \mathbb {R}$

olisi aidosti vähenevä funktio.

Lähteet

• Tampereen Teknillinen Korkeakoulu: Funktion ominaisuuksia (Arkistoitu – Internet Archive)
• Jyväskylän yliopisto: Funktion monotonisuus
• Helsingin yliopisto: Matematiikan tukikurssi, #8
• Wolframs Mathworld: Monotonic functions
• Connexions: Monotonic functions
• Swarthmore: Monotonic functions (Arkistoitu – Internet Archive)
• Math eCources: Monotonic functions (Arkistoitu – Internet Archive)

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.