Aste (polynomi)

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Polynomin aste on matematiikassa käytetty termi, jolla jaotellaan erilaisia polynomeja niiden ominaisuuksien mukaan. Polynomin, joka muodostuu yhdestä tai useammasta monomista, perusominaisuudet määrätyvät korkeampiasteisen monomin mukaan.

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Monomin aste on potenssimerkinnässä olevan eksponentin arvo. Esimerkiksi potenssin

aste on viisi. Kun polynomissa on useita monomeita, tulee polynomin asteeksi korkein monomin aste. Esimerkiksi polynomi p(x)

muodostuu neljästä monomista eli termistä. Niiden asteet ovat vasemmalta lukien 6, 5, 2, 1 ja 0. Koska asteluku 6 on korkein aste, tulee se polynomin asteluvuksi. Tällöin sanotaan, että polynomi p(x) on kuudetta astetta, ja se voidaan merkitä myös

,

missä deg merkitsee englanniksi degree.

Nimityksiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Polynomifunktio, jonka jonka asteluku on n, nimetään ....

Asteen määräytyminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Seuraavassa esitellään muutama yleinen tapaus polynomilaskennassa. Niissä polynomi ei saa olla nollafunktio, sillä kun ei ole astetta. Kahden polynomin P(x) ja Q(x) yhteen- ja vähennyslaskussa tuloksen P(x)±Q(x) aste on suurempi aste:

,
.

Esimerkiksi summan aste on 3, koska 3 ≤ max(3, 2). Samoin erotuksen aste on 2, koska 2 ≤ max(3, 3).

Vakiolla kertominen ei vaikuta astelukuun:

.

Esimerkiksi aste on 2, joka on myös alkuperäisen polynomin aste.

Polynomien P(x) ja Q(x) tulon P(x)Q(x) aste on asteiden summa

ja osamäärässä P(x)/Q(x) asteiden erotus

.

Esimerkiksi tulon aste on 3 + 2 = 5.

Polynomien P(x) ja Q(x) yhdistetyn funktion aste on asteiden tulo

.

Esimerkiksi, jos , , niin , jonka aste on 6. Alkuperäisten polynomien asteiden tulo

Asteen määrittäminen funktion arvoista[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Polynomin P(x) aste voidaan laskea raja-arvona

Yleistäen voidaan määrittää muidenkin funktioiden aste edellisellä raja-arvolla. Esimerkiksi:

Yleisen funktion f(x) aste voidaan määrittää toisenkin raja-arvon avulla:

.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]