Pistetodennäköisyysfunktio

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Pistetodennäköisyysfunktio [1][2] eli pistetodennäköisyys [3] on todennäköisyyslaskennassa diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysfunktio, jolla saa nollasta eroavan arvon yksittäiselle perusjoukon alkeistapaukselle, tapahtumille tai satunnaismuuttujan arvolle.[4][2][5][3]

Pistetodennäköisyysfunktion arvot saadaan kunkin arvon yleisyydestä, joka määritetään todennäköisyysmitan avulla [2][6]

missä Funktio saa todennäköisyysarvoja kaikille perusjoukon arvoille, mutta muille arvoille se määritellään nollaksi. Pistetodennäköisyysfunktio on siten diskreetti kuvaus [1]

Nimityksiä ja merkintöjä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sitä funktiota, joka määrittelee todennäköisyyslaskennassa satunnaisilmiön alkeistapauksien, tapahtumien tai satunnaismuuttujan arvojen todennäköisyydet, kutsutaan yleisesti todennäköisyysfunktioksi. Diskreettisessä tapauksessa sitä kutsutaan yleisimmin pistetodennäköisyysfunktioksi ja jatkuvassa tapauksessa tiheysfunktioksi. Esimerkiksi englannin kielisten käytäntöjen mukaisesti, molempia tapauksia ja niiden yhdistelmiä kutsutaan harvemmin myös samalla nimityksellä todennäköisyyden massafunktioksi (engl. probability mass function (pmf)), jonka viittaa fysiikan mekaniikkaan, kuten tekee myös käsite tiheysfunktio (engl. probability density function (pdf)), jota käytetään harvoin tässä samassa merkityksessä.[2]

Tiheysfunktion mallin mukaisesti, pistetodennäköisyysfunktion tunnuksena voidaan käyttää myös latinalaista kirjainta tai jopa kreikkalaista kirjainta .

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kolmiarvoisen satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktion kuvaaja.

Yleensä, diskreettien satunnaismuuttujien tapauksessa, pistetodennäköisyysfunktion kaikkien arvojen esittämiseksi voidaan joutua luettelemaan ne taulukossa. Toisinaan, todennäköisyyksien arvot noudattavat tietyn lausekkeen arvoja. Esimerkiksi satunnaismuuttujan (kuva) arvot ovat

ja

Muilla arvoilla se on nolla

Esimerkki diskreetistä satunnaismuuttujasta , jonka pistetodennäköisyysfunktion arvot voidaan lausua lausekkeena, saadaan nopanheitosta. Lasketaan todennäköisyys saada "kuutosia" viidestä nopanheitosta. "Kuutosen" esiintymisen todennäköisyys on ja jonkin muun todennäköisyys on . Kombinatoristen sääntöjen mukaan todennäköisyys saada k "kuutosta" on

[4]

Lausekkeen avulla voidaan laskea kaikki todennäköisyydet eri määrille kuutosia (tässä likiarvoina):

ja

Ominaisuudet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kukin funktion saama arvo on Arvot vaihtelevat kuitenkin siten, että niiden summa on aina yksi:

Tämä sääntö pätee luonnollisesti edellisiin esimerkkeihin.[2]

Kaikki perusjoukon arvojen todennäköisyydet muodostavat yhdessä niin sanotun todennäköisyysjakauman. Vain diskreettien ilmiöiden ja satunnaismuuttujien jakaumat muodostuvat pistetodennäköisyyksistä.[3][2][7]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b Ruskeapää, Heikki: Todennäköisyyslaskenta I(luentomoniste), Turun Yliopisto, 2012
  2. a b c d e f Kohonen, Jukka: 2.1 Satunnaismuuttuja ja sen jakauma, luentomoniste kurssista Johdatus todennäköisyyslaskentaan, Helsingin yliopisto, 2013
  3. a b c Etälukio: Diskreetti jakauma
  4. a b Alatupa, Sami et al.: Pitkä Sigma 6, s. 43−60. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Otava, 2010. ISBN 978-951-31-5343-4.
  5. Kivelä, Simo K.: Todennäköisyysfunktio P, M niin kuin matematiikka, 10.8.2000
  6. Weisstein, Eric W.: Probability Measure (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  7. Weisstein, Eric W.: Distribution Function (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)