Porrasfunktio

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Esimerkki porrasfunktion kuvaajasta

Porrasfunktio on matematiikassa funktio, joka voidaan koostaa peräkkäisillä suljetuilla, puoliavoimilla tai avoimilla väleillä määritellyistä vakiofunktioista. Toisin sanoen porrasfunktio voidaan esittää äärellisen monen indikaattorifunktion lineaarikombinaationa määrittelyvälinsä jaon avulla. Funktion arvoille jakopisteissä ei ole erillisiä ehtoja. Yhden reaalimuuttujan reaaliarvoisen porrasfunktion kuvaaja muodostaa nimensä mukaisesti ''portaikon''.[1]

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yhden reaalimuuttujan porrasfunktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon väli (välin ei tarvitse olla rajoitettu). Funktio on porrasfunktio, jos on olemassa välin jako

ja luvut , , joille

kaikilla .[1]

Porrasfunktio määritellään yhtäpitävästi indikaattorifunktion avulla: on porrasfunktio, jos

missä ja on joukon indikaattorifunktio.

Useamman reaalimuuttujan porrasfunktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon väli. Funktio on porrasfunktio, jos on olemassa välin jako siten, että vastaavassa osavälijaossa funktio on vakio jokaisen osavälin sisuksessa. Ts.

jollekin kaikilla .[2]

Esimerkkejä porrasfunktioista[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Heavisiden porrasfunktio
  • Vakiofunktio on yksinkertaisin porrasfunktio. Vakiofunktiossa on vain yksi ''porras'' ja väli jaetaan yhteen osaväliin.
  • Signum-funktio ; välin jako on .
  • Heavisiden funktio ; välin jako on .
  • Lattia- ja kattofunktiot ja ovat porrasfunktioita, jos niiden määrittelyjoukko on rajoitettu. Jos määrittelyjoukko on rajoittamaton, niin määritelmän mukaan lattia- ja kattofunktiot eivät ole porrasfunktioita, sillä välin jakopisteitä pitäisi olla äärettömän monta.

Porrasfunktioiden ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

, [1]
missä on välin pituus.
  • Porrasfunktio on derivoituva kaikkialla muualla paitsi epäjatkuvuuskohdissaan. Porrasfunktion derivaatta epäjatkuvuuskohtien ulkopuolella on nollafunktio.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c Hollanti, Camilla: Analyysi 2 2010. Tampereen yliopisto. Viitattu 17.3.2017.
  2. a b c d Purmonen, Veikko T.: Integraalilaskentaa, s. 6. Luentomoniste 36. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, 1998. ISBN 951-39-0162-9.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]