Binomijakauma

Binomijakauma

Todennäköisyysfunktio
Kertymäfunktio
Merkintä	B(n, p)
Parametrit	n ∈ N0 — kokeiden lukumäärä p ∈ [0,1] — kunkin kokeen onnistumistodennäköisyys
Määrittelyjoukko	k ∈ { 0, …, n } — onnistumisten lukumäärä
Pistetodennäköisyysfunktio	$\textstyle {n \choose k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}$
Kertymäfunktio	$\textstyle I_{1-p}(n-k,1+k)$
Odotusarvo	np
Mediaani	⌊np⌋ tai ⌈np⌉
Moodi	⌊(n + 1)p⌋ tai ⌊(n + 1)p⌋ − 1
Varianssi	np(1 − p)
Vinous	${\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}$
Huipukkuus	${\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}$
Entropia	${\frac {1}{2}}\log _{2}{\big (}2\pi e\,np(1-p){\big )}+O\left({\frac {1}{n}}\right)$
Momentit generoiva funktio	$(1-p+pe^{t})^{n}\!$
Karakteristinen funktio	$(1-p+pe^{it})^{n}\!$
Todennäköisyydet generoiva funktio	$G(z)=\left[(1-p)+pz\right]^{n}.$
Fisherin informaatiomatriisi	$g(p,n)={\frac {n}{p(1-p)}}$ (vain jatkuvan parametrin tapauksessa)

Binomijakauma on dikotomisen toistokokeen lopputulosten lukumäärän jakauma. Se siis kuvaa eri onnistumisten lukumäärien todennäköisyyttä toistettaessa koetta tietty määrä ja onnistumisen todennäköisyyden ollessa vakio.

Binomijakauma on diskreetti. Jos satunnaismuuttuja $X$ on binomijakautunut, merkitään

$X\sim \operatorname {Bin} (n,p).$

Jakauman parametri $0\leq p\leq 1$ on toisen lopputuloksen todennäköisyys, ja parametri $n\in \mathbb {N}$ on toistojen lukumäärä. Jakauman arvojoukko on $\{0,1,...,n\}$. Pistetodennäköisyysfunktio on

$\operatorname {P} (X=i)={n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}$, missä $i$ on onnistumisten lukumäärä toistokokeessa.

Odotusarvo ja varianssi ovat

$\operatorname {E} (X)=np$ ja $\operatorname {Var} (X)=np(1-p).$

Jos $X_{1}\sim \operatorname {Bin} (n_{1},p)$ ja $X_{2}\sim \operatorname {Bin} (n_{2},p)$ ja jos $X_{1}$ ja $X_{2}$ ovat riippumattomia, niin $X_{1}+X_{2}\sim \operatorname {Bin} (n_{1}+n_{2},p)$.

Binomijakauman yhteys Bernoullin jakaumaan on

$\operatorname {Bin} (1,p)=\operatorname {B} (p).$

Katso myös

• Binomikerroin
• Binomitodennäköisyys
• Poissonin jakauma

Aiheesta muualla

• Mathworld: Binomial Distribution

Todennäköisyysjakaumat

Diskreettejä jakaumia	Bernoullin jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma Negatiivinen binomijakauma Poissonin jakauma
Jatkuvia jakaumia	Beta-jakauma Cauchy-jakauma Eksponenttijakauma F-jakauma Gamma-jakauma Khii toiseen -jakauma Log-normaalijakauma Normaalijakauma Pareto-jakauma Studentin t-jakauma Tasajakauma Weibull-jakauma
Moniulotteisia jakaumia	Dirichlet-jakauma Moniulotteinen Studentin t-jakauma Multinomijakauma Multinormaalijakauma