Binomijakauma

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Binomijakauma
Todennäköisyysfunktio
Binomijakauman todennäköisyysfunktio
Kertymäfunktio
Binomijakauman kertymäfunktio
Merkintä B(n, p)
Parametrit nN0 — kokeiden lukumäärä
p ∈ [0,1] — kunkin kokeen onnistumistodennäköisyys
Määrittelyjoukko k ∈ { 0, …, n } — onnistumisten lukumäärä
Pistetodennäköisyysfunktio \textstyle {n \choose k}\, p^k (1-p)^{n-k}
Kertymäfunktio \textstyle I_{1-p}(n - k, 1 + k)
Odotusarvo np
Mediaani np⌋ tai ⌈np
Moodi ⌊(n + 1)p⌋ tai ⌊(n + 1)p⌋ − 1
Varianssi np(1 − p)
Vinous \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}
Huipukkuus \frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}
Entropia \frac12 \log_2 \big( 2\pi e\, np(1-p) \big) + O \left( \frac{1}{n} \right)
Momentit generoiva funktio (1-p + pe^t)^n \!
Karakteristinen funktio (1-p + pe^{it})^n \!
Todennäköisyydet generoiva funktio G(z) = \left[(1-p) + pz\right]^n.
Fisherin informaatiomatriisi  g(p,n) = \frac{n}{p(1-p)}

(vain jatkuvan parametrin tapauksessa)

Binomijakauma on dikotomisen toistokokeen lopputulosten lukumäärän jakauma.

Binomijakauma on diskreetti. Jos satunnaismuuttuja X on binomijakautunut, merkitään

X \sim \operatorname{Bin}(n,p) .

Jakauman parametri 0 \leq p \leq 1 on toisen lopputuloksen todennäköisyys, ja parametri n \in \mathbb{N} on toistojen lukumäärä. Jakauman arvojoukko on \{ 0,1,...,n \}. Pistetodennäköisyysfunktio on

\operatorname{P}(X=i) = {n \choose i} p^i (1-p)^{n-i} .

Odotusarvo ja varianssi ovat

\operatorname{E}(X)=np ja \operatorname{Var}(X)=np(1-p) .

Jos X_1 \sim \operatorname{Bin}(n_1,p) ja X_2 \sim \operatorname{Bin}(n_2,p) sekä X_1 ja X_2 ovat riippumattomia, niin X_1 + X_2 \sim \operatorname{Bin}(n_1+n_2,p).

Binomijakauman yhteys Bernoullin jakaumaan on

\operatorname{Bin}(1,p) = \operatorname{B} (p) .

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Commons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Binomijakauma.