Todennäköisyydet generoiva funktio

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Todennäköisyydet generoiva funktio (lyhennetään joskus tgf) on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumasta määritelty funktio, jonka avulla voidaan laskea jakauman todennäköisyyksiä ja tekijämomentteja.[1]

Todennäköisyydet generoiva funktio voidaan määritellä sekä diskreeteille- että jatkuville satunnaismuuttujille. Se on kuitenkin käytännöllisempi diskreeteille satunnaismuuttujille, jonka tuloksia esitellään tässä.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Todennäköisyydet generoiva funktio on odotusarvo

[2]

Diskreetti satunnaismuuttuja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Diskreetille satunnaismuuttujalle generoiva funktio on potenssisarja

jonka eri asteisten potenssien kertoimet ovat pistetodennäköisyysfunktion arvoja eri satunnaismuuttujan arvoille . Muuttuja on usein reaaliluku, mutta se voi olla myös kompleksiluku, sillä kaikki tarvittavat matemaattiset ominaisuudet periytyvät myös sille. Laittamalla muuttujan arvoksi nolla, voidaan funktion derivaatoista poimia esille todennäköisyydet ja arvolla yksi, laskea niistä erilaisia summia.

Potenssisarja suppenee yleisesti reaaliluvuilla vain, jos . Siten arvo on sallittu arvo. Sen sijaan arvo ei välttämättä käy, sillä sarja ei silloin suppene yleisessä tapauksessa. Potenssisarjalla saattaa kuitenkin olla olemassa sarjan raja-arvo, kun ykköstä lähestytään vasemmalta päin. Jos näin on, niin raja-arvoa voidaan ilmaista miinus-merkillä

Todennäköisyyslaskennassa alueen voi laajentaa , sillä summassa olevien todennäköisyyksien summa on aina yksi. Monissa teksteissä merkitään siksi . Merkintää sovelletaan tässä myös derivaatoille.

Jatkuva satunnaismuuttuja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jatkuvalle satunnaismuuttujalle generoiva funktio määritetään

[3]

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktion arvo: G(0)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleisessä tapauksessa, missä , saadaan

[4]

Erityistapauksessa, jossa ja niiden todennäköisyydet vastaavasti , tulee generoivasta funktiosta

[2]

josta saadaan

[4]

kunhan [4]

Funktion arvo: G(1-)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleisessä tapauksessa, missä , saadaan

sillä satunnaismuuttujan kaikkien arvojen todennäköisyyksien summa on aina yksi.[4]

Riippumattomat satunnaismuuttujat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos muodostetaan uusi satunnaismuuttuja kahdesta riippumattomasta satunnaismuuttujasta ja merkitsemällä , voidaan uusi generoiva funktio muodostaa vanhojen avulla

[2]

Momentit generoiva funktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Satunnaismuuttujan momentit generoiva funktio on odotusarvo

[2]

Momenttifunktio voidaan kirjoittaa todennäköisyydet generoivan funktion avulla

[2]

Tekijämomentit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sarjan derivointi suoritetaan jokaiselle sarjan termille yksittäin seuraavasti: [4]

Ensimmäisen derivoinnin tulokset voidaan kirjoittaa

ja sen arvo ykkösessä antaa

[2]

eli tuloksena on satunnaismuuttujan odotusarvo. Toisen derivoinnin tulokset voidaan kirjoittaa

ja sen arvo ykkösessä on

eli satunnaismuuttujan toinen tekijämomentti. Odotusarvo voidaan tulkita siten ensimmäiseksi tekijämomentiksi. Yleisesti, kun on otettu r:s derivaatta, saadaan

[4][2]

eli r:s tekijämomentti.

Todennäköisyysarvot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Erityistapauksessa, jossa ja niiden todennäköisyydet vastaavasti , saadaan derivaatoista määritetty pistetodennäköisyydet . Generoiva funktio on nyt

[2]

ja sen ensimmäinen derivaatta on

Sijoittamalla siihen saadaan

kun tilanteessa "" huomataan Toinen derivaatta antaa

ja sijoittamalla taas saadaan

Pienellä päättelyllä saadaan todennäköisyydet laskettua

[2]

Tästä lausekkeesta voidaan ymmärtää funktion nimi: todennäköisyydet generoiva funktio.

Esimerkki: noppa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Noppapeleissä käytetään arpakuutiota, jolla arvotaan kuusi lukua 1−6 ja jonka eri lukujen todennäköisyydet ovat yhtä todennäköisiä (eli noppa antaa luvun todennäköisyydellä . Muodostetaan todennäköisyydet generoiva funktio

jolla on ominaisuus

eli todennäköisyyksien summa on yksi.[5]

Koska todennäköisyydet ovat samat ja muualla nolla, on sarja itse asiassa summa:

Tekijämomentit ja varianssi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Derivaatta kohdassa yksi on

[5]

ja

[5] (odotusarvo)

Toinen derivaatta kohdassa yksi on

[5]

ja

[5] (ensimmäinen tekijämomentti)

Huomaa, miten saadaan varianssi näistä kahdesta tuloksesta

[4][5]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Liski, Erkki: Luku 3 Satunnaismuuttujat, ehdollistaminen ja riippumattomuus, s.91−92, luennosta Matemaattinen tilastotiede, Tampereen yliopisto, 2005
  2. a b c d e f g h i Matematika Intézet: Ch4: Generating functions, Budapesti, Unkari
  3. Esquível, Manuel L.: Probability Generating Functions for Discrete Real Valued Random Variables, 2011, Universidade Nova de Lisboa, Portugali
  4. a b c d e f g Gribakin, Gleb: Ch 3.: Probability Generating Functions, s.39−41, kurssin Probability and Distribution Theory luentomoniste, 2002, Queen’s University, Belfast, Irlanti
  5. a b c d e f King, Frank:Ch 6: Probability Generating Functions, kurssin Probability luentomoniste, 2007-08, University of Cambridge, Englanti

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]