Satunnaismuuttuja

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Satunnaismuuttuja [1] (engl. random variable [2]) eli stokastinen muuttuja [3] on todennäköisyyslaskennan peruskäsite, joka tarkoittaa satunnaisilmiön määräämää lukua. Jos tunnetaan satunnaismuuttujan taustalla olevan satunnaisilmiön perusjoukko, on satunnaismuuttuja funktio, joka liittää jokaiseen perusjoukon alkeistapaukseen reaaliluvun. Funktion tulee kuitenkin olla mitallinen funktio. Yleensä satunnaismuuttujan merkinnästä jätetään argumentti merkitsemättä eli kirjoitetaan .[1][4][2][5]

Satunnaismuuttuja voi olla tyypiltään diskreettinen tai jatkuva. Esimerkiksi pilkkikilpailun tulos riippuu onnesta ja "Ahdin" tarjoamat kalat voidaan ilmaista lukumääränä (diskreettinen) tai painona (jatkuva). Satunnaismuuttujan laskemistavan valinta ratkaisee sen numeerisen esitystavan. Satunnaismuuttujat, jotka eivät ole pelkästään toista tyyppiä, kutsutaan sekatyyppisiksi.[4]

Sana satunnaismuuttuja lyhennetään joskus s.m.. Yleisin tapa merkitä satunnaismuuttujaa on käyttää suuria aakkosia (esimerkiksi ). Toisinaan näkee myös alleviivattuja pieniä kirjaimia (esimerkiksi ) tai lihavoituja pieniä kirjaimia (kuten x). Kun viitataan satunnaismuuttujan arvoon, merkitään se esimerkiksi .[3][6]

Esimerkkejä satunnaismuuttujista[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Diskreetit satunnaismuuttujat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Alkeistapaukset voidaan koodata satunnaismuuttujiksi käyttämällä yksinkertaisia funktioita. Lantinheitossa perusjoukko on ja siitä voidaan luoda satunnaismuuttuja määrittelemällä esimerkiksi:

Toisessa esimerkissä kahden nopan heitossa tulokseksi halutaan molemman nopan silmälukujen summa. Silloin perusjoukon alkeistapaukset muodostuvat noppien silmälukupareista joista muodostetaan satunnaismuuttuja : Satunnaismuuttujan arvojoukko on silloin Nämä esimerkit olivat yksinkertaisia satunnaismuuttujia, koska perusjoukko oli kooltaan äärellinen.[3]

Seuraava satunnaismuuttuja muodostuu tapauksista, joita voi olla numeroituvasti ääretön määrä. Heitetään kolikkoa, kunnes saadan ensimmäisen kerran kruuna. Jos kruuna saadaan heti, merkitään satunnaismuuttujan arvoksi nolla. Jos saadaan aluksi klaava ja sitten kruuna, merkitään satunnaismuuttujan arvoksi yksi. Satunnaismuuttujan arvojoukko on silloin

Jatkuvat satunnaismuuttujat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Esimerkiksi tikanheitto voidaan tulkita jatkuvaksi satunnaisilmiöksi, sillä jokainen osuma seinään ja tauluun voidaan tulkita x-koordinaatiston pisteeksi . Tason pisteitä on nyt ylinumeroituvasti ääretön määrä ja samoin on myös satunnaismuuttujan arvoja. Jos määritellään satunnaismuuttuja siten, että kun origo on napakympissä, saadaan Borel-joukko niistä -säteisistä ympyrälevyistä, missä Satunnaismuuttuja saa silloin arvot [3]

Satunnaismuuttuja saa yleensä arvot suljetulta väliltä , puoliavoimelta väleiltä tai taikka avoimelta väliltä , missä rajat ovat äärellisiä tai äärettömiä.[7]

Matemaattinen määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Satunnaismuuttuja on mitallinen funktio , missä määrittelyjoukko on todennäköisyyslaskennassa käytettävä perusjoukko ja funktion arvojoukkona ovat reaaliluvut. Jos siis alkeistapaus oletetaan valituksi, on satunnaismuuttujan arvo yksikäsitteisesti määritelty, joten siinä mielessä se ei ole "satunnainen" eikä "muuttuja". Kuvauksen arvojoukko (eli kuva) voi olla reaalilukujen osajoukko . Satunnaismuuttujan kuvaus yksittäisillä alkeistapauksen tai tapahtuman arvoilla on silloin Alkeistapaus tai tapahtuma voidaan ilmaista tämän käänteiskuvauksena [4][8]

Funktio tulee olla mittallinen eli -mitallinen kuvaus. Tämä tarkoittaa sitä, että jokaisen perusjoukon osajoukko kuuluu sigma-algebraan . Vain silloin on varmasti tapahtuma eli , joka kuuluu aina Borel-joukkoon.[4][8]

Satunnaismuuttujaa on määritelty myös siten, että se on mitallinen funktio todennäköisyysavaruudesta mitta-avaruuteen [2][9]

Todennäköisyysjakauma[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: Todennäköisyysjakauma
Nopan silmäluvut ovat luvut 1-6 ja niiden pistetodennäköisyydet ovat kaikki yhtä suuret.

Todennäköisyysjakauma, usein yksinkertaisesti vain jakauma, määrittelee satunnaismuuttujien arvojen esiintymistodennäköisyydet ja samalla sen käyttäytymisen oleellisimman piirteen. Satunnaismuuttujat luokitellaankin niiden todennäköisyysjakaumiensa mukaisesti eri tyyppeihin. Jakauma voidaan määritellä kahdella eri tavalla: todennäköisyys- eli tiheysfunktiolla tai kertymä- eli jakaumafunktiolla. Eri tavat ovat hyödyllisiä eri tilanteissa, mutta kummastakin funktiosta voidaan johtaa kaikki satunnaismuuttujan ominaisuudet. Jakaumien rakenteet eroavat toisistaan vielä sen mukaan, onko satunnaismuuttuja diskreetti vai jatkuva.

Todennäköisyysfunktiot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kahden nopan silmälukujen summan jakaumafunktion pistetodennäköisyydet jakautuvat kuvaajan mukaisesti.

Todennäköisyysfunktiot ovat diskreettisellä ja jatkuvalla satunnaismuuttujilla varsin erilaiset.

Diskreetit satunnaismuuttujat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Diskreettisten satunnaismuuttujien jakauma on luettelo, jossa jokaiseen satunnaismuuttujan arvoon liitetään todennäköisyyden arvo . Usein käytetty merkintätapa on Diskreettien satunnaismuuttujien todennäköisyyksiä kutsutaan myös pistetodennäköisyyksiksi.[10][6] Diskreettien satunnaismuuttujien todennäköisyyksiä kutsutaan myös pistetodennäköisyyksiksi.[6][10]

Esimerkiksi kahden nopan heitossa, jossa satunnaismuuttujana on noppien silmälukujen summa, saadaan satunnaismuuttujan arvojen perusjoukoksi Kuten oheisesta kuvaajasta voi nähdä, noudavat seuraavat pistetodennäköisyydet sen todennäköisyysjakaumaa: ja [10]

Todennäköisyysjakauman todennäköisyyksien summa

tulee aina olla yksi.[10]

Esimerkki jatkuvasta satunnaismuuttujan tiheysfunktiosta on normaalijakauman kuvaaja.

Jatkuvat satunnaismuuttujat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jatkuvien satunnaismuuttujien todennäköisyysfunktio on tiheysfunktio (joskus ), joka saa satunnaismuuttujan arvoalueella vain positiivisia arvoja ja muualla se saa arvokseen nolla. Se ei voi saada missään negatiivisia arvoja.[7][11]

Todennäköisyys sille, että sattunnaismuuttuja saa arvokseen yli 1,2 eli on kuvaajan väritetyn alueen pinta-ala eli integraali.

Tiheysfunktion arvot eivät ole todennäköisyyksiä. Jatkuvan satunnaismuuttujan arvot ovat reaalilukuja, joita on yleensä ylinumeroituvasti ääretön lukumäärä. Usein tulkitaankin, että yksittäisen alkeistapauksen satunnaismuuttujan arvon esiintymistodennäköisyys on "nolla". Tässä on kuitenkin ristiriita käytännön kanssa. Satunnaismuuttuja antaa tulokseksi joitakin arvoja, joten ainakaan niiden todennäköisyys ei voi olla "tasan nolla". Silloinhan niitä ei esiintyisi. Koska yksittäiset satunnaismuuttujan arvot ovat selvästi mahdollisia, mutta kuitenkin äärimmäisen epätodennäköisiä, on niiden todennäköisyys "melkein nolla".

Jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyyksiä lasketaankin vain tapahtumille, jotka ovat satunnaismuuttujan arvojen lukuvälejä . Tapahtuman lukuvälissä on ylinumeroituvasti ääretön määrä alkeistapauksia, joiden yhteinen todennäköisyys on äärellinen. Tällä lukuvälillä otettu tiheysfunktion määrätty integraali onkin todennäköisyyttä merkitsevä numeerinen arvo:

Koko tiheysfunktion yli otettu määrätty integraali on aina arvoltaan yksi

koska sille välille jäävät kaikki alkeistapaukset.

Satunnaismuuttujalla on viisi arvoa välillä , joiden pistetodennäköisyydet ovat kaikki 0,2. Näistä piirretty kertymäfunktio on porrasfunktio, joka on oikealta puolelta jatkuva.

Kertymäfunktiot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Edellä esitetyn normaalijakauman kertymäfunktion kuvaaja muistuttaa S-käyrää.

Kertymäfunktio eli jakaumafunktio määritellään siten, ettei määrättyä integrointia enää tarvita todennäköisyyksiä laskettaessa. On olemassa useita erilaisia kertymäfunktion määrittelytapoja. Yleisin on kuitenkin määrittää todennäköisyys tapahtumalle, joka sisältää kaikki alkeistapaukset vasemmaltapäin päätearvoon asti. Sekä diskreettisille että jatkuville satunnaismuuttujille tämä tarkoittaa [6][11][12]

Todennäköisyys tapahtumalle on silloin laskettavissa ilman määrättyä integrointia

Kertymäfunktiot ovat kasvavia funktioita, jotka saavat vain arvot

.

Diskreettisillä satunnaismuuttujilla kertymäfunktiot ovat porrasfunktioita, jotka kasvavat joka "portaalla". Jatkuvilla satunnaismuuttujilla kuvaaja on yleensä kasvavia ja sileä käyriä. Jos kertymäfunktio on derivoituva, saadaan sen derivaatasta tiheysfunktio

Tunnusluvut eli momentit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: Momentti

Satunnaismuuttujien todennäköisyysjakaumat riippuvat yleensä vain muutamista parametreista, joilla on usein jokin käytännön merkitys. Esimerkiksi monissa jakaumissa tulee tietää vain sen "keskiarvo". Tämä parametri tunnetaan matematiikassa odotusarvona (merkitään ), jotka toisinaan kutsutaan ensimmäiseksi momentiksi. Muita parametrejä voivat olla esimerkiksi varianssi (merkitään , toinen momentti) tai vinous (kolmas momentti). Jakauman tarvitsemia parametreja on muitakin, mutta vaihtelevat jakaumittain.[13][6][11]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b Alatupa, Sami et al.: Pitkä Sigma 3, s. 43−60. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Otava, 2010. ISBN 978-951-31-5343-4.
  2. a b c Weisstein, Eric W.: Random Variable (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. a b c d Kivelä, Simo K.: Stokastinen muuttuja, M niin kuin matematiikka, 10.8.2000
  4. a b c d Ruskeapää, Heikki: Todennäköisyyslaskenta I(luentomoniste), Turun Yliopisto, 2012
  5. Saarnisaari, Harri: Satunnaismuuttujat (luentomateriaalia), 2003
  6. a b c d e Etälukio: Diskreetti jakauma
  7. a b Kivelä, Simo K.: Jatkuvat jakaumat, M niin kuin matematiikka, 10.8.2000
  8. a b Emet, Stefan: Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Turun Yliopisto, 2014
  9. Sottinen, Tommi: Todennäköisyysteoria, syksy 2006 (10 op, 5 ov) (luentomoniste), s. 19–24, Helsingin Yliopisto, 2006
  10. a b c d Kivelä, Simo K.: Diskreetit jakaumat, M niin kuin matematiikka, 10.8.2000
  11. a b c Etälukio: Jatkuva jakauma
  12. Kivelä, Simo K.: Kertymäfunktio, M niin kuin matematiikka, 10.8.2000
  13. Kivelä, Simo K.: Jakauman tunnusluvut, M niin kuin matematiikka, 10.8.2000