Sigma-algebra

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Sigma-algebra (myös σ-algebra) on mittateoriassa olennainen joukkoperhe, joka on tietyn perusjoukon osajoukkojen rakennelma. Esimerkiksi todennäköisyyslaskennassa sigma-algebra tulkitaan havaitsijalle eroteltavissa olevien satunnaiskokeen lopputulosten joukkona.

Sigma-algebran määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon \Omega mielivaltainen epätyhjä joukko. Sigma-algebra perusjoukolla \Omega on sen osajoukkojen joukkoperhe\mathcal{F}, joka toteuttaa ehdot:

  1. \varnothing \in \mathcal{F}
  2. jos A \in \mathcal{F}, niin A^c \in \mathcal{F}
  3. jos A_k \in \mathcal{F} kaikilla k \in K, missä K on numeroituva joukko, niin \bigcup_{k \in K} A_k \in \mathcal{F}.

Sigma-algebran ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sigma-algebran \mathcal{F} ominaisuuksia:

  • perusjoukko kuuluu sigma-algebraansa, eli \Omega \in \mathcal{F}
  • Sigma-algebran joukkojen väliset yleisimmät joukko-operaatiot tuottamat joukot kuuluvat kyseiseen sigma-algebraan. Jos A \in \mathcal{F} ja B \in \mathcal{F}, niin esimerkiksi A \cup B \in \mathcal{F}, A \cap B \in \mathcal{F} ja A \setminus B \in \mathcal{F}
  • jos A_k \in \mathcal{F} kaikilla k \in K, missä K on numeroituva, niin \bigcap_{k \in K} A_k \in \mathcal{F}
  • sigma-algebrojen välinen mielivaltainen leikkaus on sigma-algebra

Sigma-algebraan liittyviä käsitteitä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Triviaali sigma-algebra on joukko \{ \varnothing, \Omega \}. Se on suppein sigma-algebra.

Sigma-algebran \mathcal{F} ali-sigma-algebra on joukkoperhe \mathcal{A} \subset \mathcal{F}, joka on sigma-algebra samalla perusjoukolla. Esimerkiksi triviaali sigma-algebra on minkä tahansa samalla perusjoukolla määritellyn sigma-algebran alisigma-algebra.

Olkoon \mathcal{B} mielivaltainen joukkoperhe joukon \Omega osajoukkoja. Joukkoperheen \mathcal{B} virittämä sigma-algebra, jota merkitään \sigma(\mathcal{B}), on suppein sigma-algebra, jolla \mathcal{B} \subset \sigma(\mathcal{B}).

Olkoon f kuvaus \Omega \rightarrow \mathbb{R}. Kuvauksen f virittämä sigma-algebra, jota merkitään \sigma(f), on suppein sigma-algebra, jonka suhteen f on mitallinen. \sigma(f_1,f_2) on suppein sigma-algebra, jonka suhteen f_1 ja f_2 ovat mitallisia.

Olkoon \mathcal{F} sigma-algebra ja \mathcal{F}_n sen alisigma-algebra jokaisella n \in \mathbb{N}. Jos \mathcal{F}_n \subset \mathcal{F}_{n+1} jokaisella n \in \mathbb{N}, niin (\mathcal{F}_n)_{n \in \mathbb{N}} on historia tai informaatiovirta, joka on siis kasvava jono sigma-algebroja.

Tärkeimpiä sigma-algebroja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Erityisesti reaalilukujen Borel-joukot muodostavat mittateoriassa tärkeän sigma-algebran. Samoin Lebesgue-mitalliset joukot.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]