Sigma-algebra

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Sigma-algebra (myös σ-algebra) on mittateoriassa olennainen joukkoperhe, joka on tietyn perusjoukon osajoukkojen rakennelma. Esimerkiksi todennäköisyyslaskennassa sigma-algebra tulkitaan havaitsijalle eroteltavissa olevien satunnaiskokeen lopputulosten joukkona.

Sigma-algebran määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon mielivaltainen epätyhjä joukko. Sigma-algebra perusjoukolla on sen osajoukkojen joukkoperhe, joka toteuttaa ehdot:

  1. jos , niin :n komplementtijoukko
  2. jos kaikilla , missä on numeroituva joukko, niin .

Sigma-algebran ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sigma-algebran ominaisuuksia:

  • perusjoukko kuuluu sigma-algebraansa, eli
  • Sigma-algebran joukkojen väliset yleisimmät joukko-operaatiot tuottamat joukot kuuluvat kyseiseen sigma-algebraan. Jos ja , niin esimerkiksi , ja
  • jos kaikilla , missä on numeroituva, niin
  • sigma-algebrojen välinen mielivaltainen leikkaus on sigma-algebra

Sigma-algebraan liittyviä käsitteitä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Triviaali sigma-algebra on joukko . Se on suppein sigma-algebra.

Sigma-algebran ali-sigma-algebra on joukkoperhe , joka on sigma-algebra samalla perusjoukolla. Esimerkiksi triviaali sigma-algebra on minkä tahansa samalla perusjoukolla määritellyn sigma-algebran alisigma-algebra.

Olkoon mielivaltainen joukkoperhe joukon osajoukkoja. Joukkoperheen virittämä sigma-algebra, jota merkitään , on suppein sigma-algebra, jolla .

Olkoon kuvaus . Kuvauksen virittämä sigma-algebra, jota merkitään , on suppein sigma-algebra, jonka suhteen on mitallinen. on suppein sigma-algebra, jonka suhteen ja ovat mitallisia.

Olkoon sigma-algebra ja sen alisigma-algebra jokaisella . Jos jokaisella , niin on historia tai informaatiovirta, joka on siis kasvava jono sigma-algebroja.

Tärkeimpiä sigma-algebroja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Erityisesti reaalilukujen Borel-joukot muodostavat mittateoriassa tärkeän sigma-algebran. Samoin Lebesgue-mitalliset joukot.

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. Opintomoniste 15. Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]