Borel-joukko

Borel-joukot muodostavat matematiikassa laajan kokoelman joukkoja, joihin kuuluu mm. avoimet, suljetut, kompaktit, $G_{\delta }$- ja $F_{\sigma }$-joukot. Borel-joukkoja käytetään paljon erityisesti mittateoriassa helpon lähestyttävyyden vuoksi. Esimerkiksi avaruudessa $\mathbb {R} ^{n}$ Borel-joukot muodostavat hyvin laajan Lebesgue-mitallisten joukkojen kokoelman.

Määritelmä

Olkoon $(X,{\mathcal {T}})$ topologinen avaruus. Kutsumme kokoelmaa

$\operatorname {Bor} \,X=\bigcap \{{\mathcal {F}}\subset {\mathcal {P}}(X):{\mathcal {F}}{\mbox{ on sigma-algebra, }}{\mathcal {T}}\subset {\mathcal {F}}\}$

joukon $X$ Borelin perheeksi. Tämän perheen alkioita kutsutaan Borel-joukoiksi. Borelin perhe on siis määritelmänsä mukaan suppein niistä joukon $X$ sigma-algebroista, jotka sisältävät $X$:n avoimet joukot eli topologian ${\mathcal {T}}$. Erityisesti Borelin perhe on $X$:n topologian virittämä sigma-algebra $\sigma ({\mathcal {T}})$.

Esimerkkejä

Reaalilukujen joukon $\mathbb {R}$ osajoukoista Borelin joukkoja ovat muun muassa:

• $\mathbb {R}$ itse
• kaikki avoimet, puoliavoimet ja suljetut välit
• kaikki muotoa $[a,\infty )$, $(a,\infty )$, $-\infty ,b)$ tai $(-\infty ,b]$ olevat rajoittamattomat välit
• kaikki muutkin $\mathbb {R}$:n avoimet ja suljetut joukot
  • esimerkiksi kaikki joukot, joissa on vain äärellinen tai numeroituva määrä alkioita tai joiden ulkopuolelle jää vain äärellinen tai numeroituva määrä reaalilukuja
• kaikki avoimien joukkojen numeroituvat leikkaukset ja suljettujen joukkojen numeroituvat yhdisteet.

Itse asiassa ei olekaan helppo muodostaa esimerkkiä $\mathbb {R}$:n osajoukosta, joka ei ole Borelin joukko. Kuitenkin Borelin joukot muodostavat vain pienen osan $\mathbb {R}$:n kaikista osajoukoista. Kaikkien Borelin joukkojen joukon mahtavuus nimittäin on sama kuin $\mathbb {R}$:n (kontinuumin mahtavuus), kun taas $\mathbb {R}$:n kaikkien osajoukkojen joukon mahtavuus on aidosti suurempi.

$\mathbb {R}$:n Borelin joukoilla on keskeinen merkitys muun muassa toden­näköisyys­laskennassa. Toden­näköisyys­kentissä, joiden perusjoukkona on $\mathbb {R}$, on todennäköisyys määriteltävissä vain niille $\mathbb {R}$:n osajoukoille, jotka ovat Borelin joukkoja.

Ominaisuuksia

Voidaan osoittaa, että jokainen avaruuden $\mathbb {R} ^{n}$ avoin joukko on Lebesgue-mitallinen. Tästä seuraa, että jokainen $\mathbb {R} ^{n}$:n Borel-joukko on Lebesgue-mitallinen eli

$\operatorname {Bor} \,\mathbb {R} ^{n}\subset \operatorname {Leb} \,\mathbb {R} ^{n}.$

Nimittäin mitalliset joukot muodostavat sigma-algebran $\operatorname {Leb} \,\mathbb {R} ^{n}$ ja Borelin perhe $\operatorname {Bor} \,\mathbb {R} ^{n}$ on saatu leikkaamalla kaikki ne sigma-algebrat, jotka sisältävät avoimet joukot.

Koska Borelin perhe on sigma-algebra, joka sisältää kaikki avoimet joukot, niin se sisältää myös kaikki suljetut joukot. Lisäksi sigma-algebran ominaisuuksista näemme, että Borelin perhe sisältää myös kaikki numeroituvat yhdisteet ja leikkaukset avoimista ja suljetuista joukoista. Tästä seuraa, että leikkaamalla, yhdistämällä ja komplementoimalla saadaan lukemattomia erilaisia joukkoja. Siksi on itse asiassa vaikea konstruoida joukkoa, joka ei ole Borel. Ei-Borel-joukkoja on kuitenkin olemassa. Tällainen saadaan muun muassa seuraavalla esimerkillä, jonka vaiheiden perustelut löytyvät tarkemmin lähteestä:

Olkoon $C_{1}\,$ ja $C_{2}\,$ (yleisiä) Cantorin joukkoja $\mathbb {R}$:ssä. Oletetaan, että esimerkiksi $C_{1}\,$ positiivimittainen ja $C_{2}\,$ on nollamittainen. Tällöin Lebesguen ulkomitan ominaisuuksista seuraa, että $C_{2}\,$ sisältää ei-Lebesgue-mitallisen joukon $A\,$. Koska Cantorin joukot ovat keskenään homeomorfisia, niin on olemassa homeomorfismi $f:C_{1}\rightarrow C_{2}$. Tästä seuraa, että joukko $fA\subset \mathbb {R} \,$ ei itse asiassa ole Borel-joukko. Nimittäin jos se olisi Borel, niin olisi funktion f jatkuvuuden nojalla joukko $f^{-1}fA\,$ Borel (homeomorfismit ovat erityisesti jatkuvia, joten ne ovat Borel-kuvauksia). Toisaalta funktion f bijektiivisyyden nojalla $f^{-1}fA=A\,$, joten joukko A olisi tällöin Borel. Tämä on mahdotonta, sillä oletimme, että A ei ole Lebesgue-mitallinen joukko ja siis ei erityisesti Borel-joukkokaan. Toisaalta voidaan osoittaa, että se taasen on mm. Lebesgue-mitallinen, mikä osoittaa sen, että Borelin perhe $\operatorname {Bor} \,\mathbb {R}$ on aito osajoukko Lebesgue-mitallisten joukkojen kokoelmasta $\operatorname {Leb} \,\mathbb {R}$.

Borel-mitat ja Borel-ulkomitat

• Topologisen avaruuden $(X,{\mathcal {T}})$ mitta $\mu \,$ on Borel-mitta jos ja vain jos kaikki Borel-joukot ovat mitallisia eli mitan sigma-algebran alkioita.

• Topologisen avaruuden $(X,{\mathcal {T}})$ ulkomitta $\mu ^{*}\,$ on Borel-ulkomitta jos ja vain jos kaikki Borel-joukot ovat $\mu$-mitallisia.

• Lisäksi määritellään, että Borel-ulkomitta $\mu ^{*}\,$ on Borel-säännöllinen jos ja vain jos jokaista $A\subset X$ kohti on olemassa Borel-joukko $B\in \operatorname {Bor} \,X$, jolla $A\subset B{\mbox{ ja }}\mu ^{*}(A)=\mu ^{*}(B)$.

Ulkomitan Borel-säännöllisyys tuo esille Borel-joukkojen kätevyyden mittateoriassa. On mahdollista, että esimerkiksi todistaessa jollekin patologiselle joukolle jotain sen mitan avulla voi olla suoraan vaikeaa, sillä mitta on vaikeasti laskettavissa, mutta käyttämällä sitä Borel-joukkoa, joka peittää tämän joukon ja on samanmittainen, niin tilanne voi helpottua huomattavasti. Esimerkiksi joukon mitallisuus voidaan Borel-säännöllisen ulkomitan tapauksessa todistaa pelkästään Borel-joukkoja hyväksikäyttäen.

Borel-ulkomitat voidaan karakterisoida toisella tavalla metrisissä avaruuksissa. Jos siis edellä mainittu topologia ${\mathcal {T}}$ metristyvä, ts. on olemassa jokin joukon $X\,$ metriikka $d\,$ siten, että ${\mathcal {T}}={\mathcal {T}}_{d}$, niin jokainen tämän topologian ulkomitta $\mu ^{*}\,$ on Borel jos ja vain jos ehdosta

$d(A,B)>0\,$

seuraa ominaisuus

$\mu ^{*}(A\cup B)=\mu ^{*}(A)+\mu ^{*}(B)$

kaikilla $A,B\subset X\,$.

Borel-funktiot

Olkoon $(X,{\mathcal {T}})$ topologinen avaruus ja joukko $A\subset X$. Kutsumme funktiota $f:A\rightarrow \mathbb {R}$ Borel-funktioksi jos ja vain jos jokaisen avoimen joukon alkukuva kuvauksessa f on Borel-joukko.

Tämä määritelmä voidaan myös lausua muodossa: joukko $A$ on Borel-joukko ja joukko

$\{x\in A:f(x)>c\}$

on Borel-joukko kaikilla $c\in \mathbb {R}$. Borel-funktioita kutsutaan joskus kirjallisuudessa Bairen funktioiksi.

Voidaan osoittaa, että jokainen jatkuva kuvaus on Borel-kuvaus. Lisäksi jokaisessa Borel-kuvauksessa jokaisen Borel-joukon alkukuva on Borel.

Lisäksi jos annettu topologia ${\mathcal {T}}$ on metristyvä, niin voidaan osoittaa, että jokainen tämän topologian Borel-funktio on mitallinen jokaisen Borel-mitan suhteen.

Kirjallisuutta

• Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. 15. Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7.