Borel-joukko

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Borel-joukot muodostavat matematiikassa laajan kokoelman joukkoja, joihin kuuluu mm. avoimet, suljetut, kompaktit, - ja -joukot. Borel-joukkoja käytetään paljon erityisesti mittateoriassa helpon lähestyttävyyden vuoksi. Esimerkiksi avaruudessa Borel-joukot muodostavat hyvin laajan Lebesgue-mitallisten joukkojen kokoelman.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon topologinen avaruus. Kutsumme kokoelmaa

joukon Borelin perheeksi. Tämän perheen alkioita kutsutaan Borel-joukoiksi. Borelin perhe on siis määritelmänsä mukaan suppein niistä joukon sigma-algebroista, jotka sisältävät :n avoimet joukot eli topologian . Erityisesti Borelin perhe on :n topologian virittämä sigma-algebra .

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Voidaan osoittaa, että jokainen avaruuden avoin joukko on Lebesgue-mitallinen. Tästä seuraa, että jokainen :n Borel-joukko on Lebesgue-mitallinen eli

Nimittäin mitalliset joukot muodostavat sigma-algebran ja Borelin perhe on saatu leikkaamalla kaikki ne sigma-algebrat, jotka sisältävät avoimet joukot.

Koska Borelin perhe on sigma-algebra, joka sisältää kaikki avoimet joukot, niin se sisältää myös kaikki suljetut joukot. Lisäksi sigma-algebran ominaisuuksista näemme, että Borelin perhe sisältää myös kaikki numeroituvat yhdisteet ja leikkaukset avoimista ja suljetuista joukoista. Tästä seuraa, että leikkaamalla, yhdistämällä ja komplementoimalla saadaan lukemattomia erilaisia joukkoja. Siksi on itse asiassa vaikea konstruoida joukkoa, joka ei ole Borel. Ei-Borel-joukkoja on kuitenkin olemassa. Tällainen saadaan muun muassa seuraavalla esimerkillä, jonka vaiheiden perustelut löytyvät tarkemmin lähteestä:[1]

Olkoon ja (yleisiä) Cantorin joukkoja :ssä. Oletetaan, että esimerkiksi positiivimittainen ja on nollamittainen. Tällöin Lebesguen ulkomitan ominaisuuksista seuraa, että sisältää ei-Lebesgue-mitallisen joukon . Koska Cantorin joukot ovat keskenään homeomorfisia, niin on olemassa homeomorfismi . Tästä seuraa, että joukko ei itse asiassa ole Borel-joukko. Nimittäin jos se olisi Borel, niin olisi funktion f jatkuvuuden nojalla joukko Borel (homeomorfismit ovat erityisesti jatkuvia, joten ne ovat Borel-kuvauksia). Toisaalta funktion f bijektiivisyyden nojalla , joten joukko A olisi tällöin Borel. Tämä on mahdotonta, sillä oletimme, että A ei ole Lebesgue-mitallinen joukko ja siis ei erityisesti Borel-joukkokaan. Toisaalta voidaan osoittaa, että se taasen on mm. Lebesgue-mitallinen, mikä osoittaa sen, että Borelin perhe on aito osajoukko Lebesgue-mitallisten joukkojen kokoelmasta .

Borel-mitat ja Borel-ulkomitat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Topologisen avaruuden mitta on Borel-mitta jos ja vain jos kaikki Borel-joukot ovat mitallisia eli mitan sigma-algebran alkioita.
  • Topologisen avaruuden ulkomitta on Borel-ulkomitta jos ja vain jos kaikki Borel-joukot ovat -mitallisia.
  • Lisäksi määritellään, että Borel-ulkomitta on Borel-säännöllinen jos ja vain jos jokaista kohti on olemassa Borel-joukko , jolla .

Ulkomitan Borel-säännöllisyys tuo esille Borel-joukkojen kätevyyden mittateoriassa. On mahdollista, että esimerkiksi todistaessa jollekin patologiselle joukolle jotain sen mitan avulla voi olla suoraan vaikeaa, sillä mitta on vaikeasti laskettavissa, mutta käyttämällä sitä Borel-joukkoa, joka peittää tämän joukon ja on samanmittainen, niin tilanne voi helpottua huomattavasti. Esimerkiksi joukon mitallisuus voidaan Borel-säännöllisen ulkomitan tapauksessa todistaa pelkästään Borel-joukkoja hyväksikäyttäen.

Borel-ulkomitat voidaan karakterisoida toisella tavalla metrisissä avaruuksissa. Jos siis edellä mainittu topologia metristyvä, ts. on olemassa jokin joukon metriikka siten, että , niin jokainen tämän topologian ulkomitta on Borel jos ja vain jos ehdosta

seuraa ominaisuus

kaikilla .

Borel-funktiot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon topologinen avaruus ja joukko . Kutsumme funktiota Borel-funktioksi jos ja vain jos jokaisen avoimen joukon alkukuva kuvauksessa f on Borel-joukko.

Tämä määritelmä voidaan myös lausua muodossa: joukko on Borel-joukko ja joukko

on Borel-joukko kaikilla . Borel-funktioita kutsutaan joskus kirjallisuudessa Bairen funktioiksi.

Voidaan osoittaa, että jokainen jatkuva kuvaus on Borel-kuvaus. Lisäksi jokaisessa Borel-kuvauksessa jokaisen Borel-joukon alkukuva on Borel.

Lisäksi jos annettu topologia on metristyvä, niin voidaan osoittaa, että jokainen tämän topologian Borel-funktio on mitallinen jokaisen Borel-mitan suhteen.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Olli Lehto: Reaalifunktioiden teoria, Limes ry, 1975, ISBN 951-745-044-3