Mitta

Intuitiivisesti mitta on kuvaus, joka liittää jokaiseen mitattavaan joukkoon ei-negatiivisen reaaliluvun, missä osajoukot kuvautuvat pienemmille luvuille.

Mitta on mittateorian peruskäsite, jolla tarkoitetaan funktiota, jonka halutaan liittävän erilaisiin tutkittaviin joukkoihin esimerkiksi lukumäärä, pituus, pinta-ala, tilavuus tai todennäköisyys. Mitan käsitteeseen pohjautuu todennäköisyysteoria ja integraalilaskennan yleinen teoria.

Määritelmä

Merkitään $[0,\infty ]:=[0,\infty [\,\cup \,\{+\infty \}$$[0,\infty ]:=[0,\infty [\,\cup \,\{+\infty \}$ (laajennetun lukusuoran ei-negatiivinen osa).

Oletetaan, että $X$$X$ on joukko ja ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ on jokin joukon $X$$X$ sigma-algebra. Sanomme, että funktio $\mu :{\mathcal {A}}\rightarrow [0,\infty ]$$\mu :{\mathcal {A}}\rightarrow [0,\infty ]$ on mitta, jos seuraavat kaksi ehtoa pätevät:

1. Tyhjän joukon mitta on nolla, eli $\mu (\emptyset )=0$$\mu (\emptyset )=0$
2. Jos joukot $A_{i}\in {\mathcal {A}}$$A_{i}\in {\mathcal {A}}$, $i\in \mathbb {N}$$i\in \mathbb {N}$, ovat erillisiä, niin $\mu \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }\mu (A_{i})$$\mu \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }\mu (A_{i})$.

Ehtoa (2) kutsutaan usein täysadditiivisuudeksi tai $\sigma$$\sigma$-additiivisuudeksi.

Jos $\mu :{\mathcal {A}}\rightarrow [0,\infty ]$$\mu :{\mathcal {A}}\rightarrow [0,\infty ]$ on mitta joukossa $X$$X$, niin kutsumme kolmikkoa $(X,{\mathcal {A}},\mu )$$(X,{\mathcal {A}},\mu )$ mitta-avaruudeksi. Joukkoa $X$$X$ kutsutaan tällöin perusjoukoksi ja sigma-algebran ${\mathcal {A}}$${\mathcal {A}}$ alkioita mitallisiksi joukoiksi.

Ominaisuuksia

Mitan määritelmän avulla voidaan osoittaa esimerkiksi seuraavat ominaisuudet jokaisessa mitta-avaruudessa $(X,{\mathcal {A}},\mu )$$(X,{\mathcal {A}},\mu )$:

• Monotonisuus: jos $A,B\in {\mathcal {A}}$$A,B\in {\mathcal {A}}$ ja $A\subset B$$A\subset B$, niin $\mu (A)\leq \mu (B).$$\mu (A)\leq \mu (B).$

• Subadditiivisuus: jos $A_{i}\in {\mathcal {A}}$$A_{i}\in {\mathcal {A}}$, $i\in \mathbb {N}$$i\in \mathbb {N}$ (eivät välttämättä erillisiä), niin $\mu \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\right)\leq \sum _{i\in \mathbb {N} }\mu (A_{i}).$$\mu \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\right)\leq \sum _{i\in \mathbb {N} }\mu (A_{i}).$

• Konvergenssilauseet:

1. Jos $B_{i}\in {\mathcal {A}},$$B_{i}\in {\mathcal {A}},$ $i\in \mathbb {N} ,$$i\in \mathbb {N} ,$ ja $B_{1}\subset B_{2}\subset ...$$B_{1}\subset B_{2}\subset ...$, niin $\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}\right)=\lim _{i\rightarrow \infty }\mu (B_{i}).$$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}\right)=\lim _{i\rightarrow \infty }\mu (B_{i}).$
2. Jos $C_{i}\in {\mathcal {A}},$$C_{i}\in {\mathcal {A}},$ $i\in \mathbb {N} ,$$i\in \mathbb {N} ,$ $C_{1}\supset C_{2}\supset ...$$C_{1}\supset C_{2}\supset ...$ ja $\mu (C_{1})<\infty$$\mu (C_{1})<\infty$, niin $\mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }C_{i}\right)=\lim _{i\rightarrow \infty }\mu (C_{i}).$$\mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }C_{i}\right)=\lim _{i\rightarrow \infty }\mu (C_{i}).$

Ulkomitan määräämä mitta

Usein mittateoriassa mitta pyritään määrittelemään ns. ulkomitan avulla. Ulkomitta ei itsessään ole (yleensä) mitta, mutta siitä saadaan Carathéodoryn lauseen avulla mitta. Näin saatuja mittoja ovat mm. Hausdorffin mitat ja Lebesguen mitta.

Nimityksiä

• Joukkoa $N\subset X$$N\subset X$ kutsutaan μ-nollamittaiseksi jos ja vain jos $\mu (N)=0$$\mu (N)=0$.

• Ominaisuuden $P$$P$ sanotaan pätevän μ-melkein kaikkialla joukossa X jos ja vain jos suurin X:n osajoukko N, jossa ominaisuus P ei päde on μ-nollamittainen.

• Mitta-avaruus on äärellinen, jos perusjoukon mitta on äärellinen. Mitta-avaruutta sanotaan σ-äärelliseksi, jos perusjoukko on numeroituva yhdiste äärellismittaisista joukoista. Voidaan osoittaa, että σ-äärellisten joukkojen yhdiste on σ-äärellinen.

Esimerkiksi reaaliluvut joissa on määritelty Lebesguen mitta, ovat σ-äärellisiä mutta eivät äärellisiä. Tarkastellaan suljettuja välejä $[k,k+1]$$[k,k+1]$ kaikilla kokonaisluvuilla $k$$k$. Näitä on numeroituvan monta, kaikkien mitta on $1$$1$, ja niiden yhdiste on koko reaaliakseli. Tarkastellaan toisaalta reaalilukuja joissa on annettu lukumäärämitta, joka antaa äärellisen joukon alkioiden lukumäärän. Tämä mitta ei ole σ-äärellinen, sillä jokainen äärellismittainen joukko sisältää vain äärellisen monta pistettä, joten reaaliakselia ei saada numeroituvana yhdisteenä äärellismittaisista joukoista.

Erityisiä mittoja

• Mitta on täydellinen, jos jokaisen nollamittaisen joukon osajoukko mitallinen. Voidaan osoittaa, että jokainen mitta voidaan täydellistää täydelliseksi mitaksi laajentamalla sigma-algebraa.

• Mitta on Borel, jos jokainen Borel-joukko on mitallinen.

Katso myös

• Mittaintegraali
• Lebesguen mitta
• Hausdorffin mitta
• Todennäköisyysmitta
• Jordanin mitta
• Diracin mitta
• Lukumäärämitta