Mitta

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Tämä artikkeli käsittelee matemaattista mittateoriaa. Mitta tarkoittaa myös mittayksikköä tai jonkin suureen, etenkin pituuden mittavälinettä kuten mittanauhaa.
Intuitiivisesti mitta on kuvaus, joka liittää jokaiseen mitattavaan joukkoon ei-negatiivisen reaaliluvun, missä osajoukot kuvautuvat pienemmille luvuille.

Mitta on mittateorian peruskäsite, jolla tarkoitetaan funktiota, jonka halutaan liittävän erilaisiin tutkittaviin joukkoihin esimerkiksi lukumäärä, pituus, pinta-ala, tilavuus tai todennäköisyys. Mitan käsitteeseen pohjautuu todennäköisyysteoria ja integraalilaskennan yleinen teoria.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Merkitään [0,\infty ] := [0,\infty [ \, \cup \, \{ +\infty \} (laajennetun lukusuoran ei-negatiivinen osa).

Oletetaan, että X on joukko ja \mathcal{A} on jokin joukon X sigma-algebra. Sanomme, että funktio \mu : \mathcal{A} \rightarrow [0,\infty ] on mitta, jos seuraavat kaksi ehtoa pätevät:

  1. Tyhjän joukon mitta on nolla, eli \mu(\emptyset ) = 0
  2. Jos joukot A_i \in \mathcal{A}, i \in \N, ovat erillisiä, niin \mu \left( \bigcup_{i \in \N} A_i \right) = \sum_{i \in \N} \mu (A_i).

Ehtoa (2) kutsutaan usein täysadditiivisuudeksi tai \sigma-additiivisuudeksi.

Jos \mu : \mathcal{A} \rightarrow [0, \infty ] on mitta joukossa X, niin kutsumme kolmikkoa (X,\mathcal{A},\mu ) mitta-avaruudeksi. Joukkoa X kutsutaan tällöin perusjoukoksi ja sigma-algebran \mathcal{A} alkioita mitallisiksi joukoiksi.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Mitan määritelmän avulla voidaan osoittaa esimerkiksi seuraavat ominaisuudet jokaisessa mitta-avaruudessa (X,\mathcal{A},\mu):

  • Monotonisuus: jos A,B \in \mathcal{A} ja A \subset B, niin
    \mu (A) \leq \mu (B).
  • Subadditiivisuus: jos A_i \in \mathcal{A}, i \in \N (eivät välttämättä erillisiä), niin
    \mu \left( \bigcup_{i \in \N} A_i \right) \leq \sum_{i \in \N} \mu (A_i).
  • Konvergenssilauseet:
  1. Jos B_i \in \mathcal{A}, i \in \N , ja B_1 \subset B_2 \subset ..., niin
    \mu \left( \bigcup_{i = 1}^\infty B_i \right) = \lim_{i \rightarrow \infty} \mu (B_i).
  2. Jos C_i \in \mathcal{A}, i \in \N , C_1 \supset C_2 \supset ... ja \mu (C_1) < \infty, niin
    \mu \left( \bigcap_{i = 1}^\infty C_i \right) = \lim_{i \rightarrow \infty} \mu (C_i).

Ulkomitan määräämä mitta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Usein mittateoriassa mitta pyritään määrittelemään ns. ulkomitan avulla. Ulkomitta ei itsessään ole (yleensä) mitta, mutta siitä saadaan Carathéodoryn lauseen avulla mitta. Näin saatuja mittoja ovat mm. Hausdorffin mitat ja Lebesguen mitta.

Nimityksiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Joukkoa N \subset X kutsutaan μ-nollamittaiseksi jos ja vain jos \mu (N) = 0.
  • Ominaisuuden P sanotaan pätevän μ-melkein kaikkialla joukossa X jos ja vain jos suurin X:n osajoukko N, jossa ominaisuus P ei päde on μ-nollamittainen.
  • Mitta-avaruus on äärellinen, jos perusjoukon mitta on äärellinen. Mitta-avaruutta sanotaan σ-äärelliseksi, jos perusjoukko on numeroituva yhdiste äärellismittaisista joukoista. Voidaan osoittaa, että σ-äärellisten joukkojen yhdiste on σ-äärellinen.

Esimerkiksi reaaliluvut joissa on määritelty Lebesguen mitta, ovat σ-äärellisiä mutta eivät äärellisiä. Tarkastellaan suljettuja välejä [k,k+1] kaikilla kokonaisluvuilla k. Näitä on numeroituvan monta, kaikkien mitta on 1, ja niiden yhdiste on koko reaaliakseli. Tarkastellaan toisaalta reaalilukuja joissa on annettu lukumäärämitta, joka antaa äärellisen joukon alkioiden lukumäärän. Tämä mitta ei ole σ-äärellinen, sillä jokainen äärellismittainen joukko sisältää vain äärellisen monta pistettä, joten reaaliakselia ei saada numeroituvana yhdisteenä äärellismittaisista joukoista.

Erityisiä mittoja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Mitta on täydellinen, jos jokaisen nollamittaisen joukon osajoukko mitallinen. Voidaan osoittaa, että jokainen mitta voidaan täydellistää täydelliseksi mitaksi laajentamalla sigma-algebraa.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]