Todennäköisyysteoria

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Todennäköisyysteoria on matematiikan osa-alue, joka tutkii todennäköisyyksiä hyödyntäen mittateorian käsitteitä. Siinä tapahtumat käsitetään mitallisen avaruuden (ns. otosavaruus) mitallisiksi osajoukoiksi, ja annetun tapahtuman todennäköisyys on sitä vastaavan joukon mitta. Koko otosavaruuden tulkitaan tarkoittavan varmaa tapausta ja sen mitta on 1. Aksiomaattisen pohjan todennäköisyysteorialle loi Andrei Kolmogorov vuonna 1933 teoksessaan Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (suom. Todennäköisyyslaskennan perusteet)

Todennäköisyysavaruus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon epätyhjä joukko (ns. perus­joukko eli otosavaruus) ja sigma-algebra joukossa . Nyt kuvaus on todennäköisyysmitta (lyh. todennäköisyys) jos se toteuttaa seuraavat kaksi ehtoa

  1. Kuvaus on mitta
  2. Otosavaruuden todennäköisyys on 1, eli .

Kolmikkoa kutsutaan todennäköisyysavaruudeksi tai todennäköisyyskentäksi.

Sigma-algebran alkioita kutsutaan tapahtumiksi. Tulkinnallisesti sigma-algebra on satunnaiskokeesta havaittavissa olevien, tai muuten mielenkiintoisten ja olennaisten lopputulosten joukko. Otosavaruuden alkioita kutsutaan alkeis­tapauksiksi tai otoksiksi, ja varsinaisen satunnaisuuden, joka liittyy todennäköisyyteen taustalla olevana ilmiönä, ajatellaan liittyvän alkeistapauksen valintaan todennäköisyysmitan määrätessä jakauman.

Tapahtuman sanotaan sattuvan, jos . Todennäköisyys, että sattuu, on sen mitta .

Tapahtumiin voi luonnollisesti ajatella liittyvän loogisia operaattoreita, kuten ei, ja ja tai. Nämä tulkitaan satunnaisilmiön kuvailussa joukko-opin kielelle joukko-operaatioina. Tapahtuma ei satu, jos sen komplementti sattuu: . Tapahtumat ja sattuvat, jos niiden leikkaus sattuu: . Tapahtuma tai tapahtuma sattuu, jos niiden yhdiste sattuu: .

Tapahtuman sanotaan sattuvan melkein varmasti, mikäli .

Klassinen todennäköisyysmalli[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yksinkertaisin ja varhaisin todennäköisyysmalli perustuu symmetrisiin alkeistapauksiin, jota kutsutaan myös klassiseksi todennäköisyysmalliksi. Tässä mallissa otosavaruus on

ja kaikilla on

.

Tämä on erikoistapaus äärellisestä todennäköisyysavaruudesta, joilla jälkimmäistä rajoitusta jakaumalle ei yleisesti ole. Äärellisille todennäköisyysavaruuksille voidaan valita ilman ongelmia sigma-algebraksi potenssijoukko . Tämä merkitsee, että todennäköisyys on määriteltty kaikille perusjoukon osajoukoille.

Geometrinen todennäköisyysmalli[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Klassinen todennäköisyysmalli on erikoistapaus niin sanotusta geometrisesta todennäköisyysmallista. Geometrisessa todennäköisyysmallissa voimme minkä tahansa äärellismittaisen mitta-avaruuden pohjalta rakentaa todennäköisyysmitan tähän avaruuteen. Täsmällisemmin jos on mitta-avaruus, jonka perusjoukko on äärellis- ja positiivimittainen eli pätee , niin kuvaus ,

on todennäköisyysmitta.

Esimerkiksi klassinen todennäköisyysmalli saadaan geometrisesta mallista jos mitaksi annetaan lukumäärämitta. Koulumatematiikassa tunnettu geometrinen todennäköisyys on taasen esimerkiksi lukusuoralla ja tasossa, joissa geometrisen todennäköisyyden mitta on saatu Lebesguen mitasta.

Satunnaismuuttuja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: Satunnaismuuttuja

Satunnaismuuttuja on -mitallinen kuvaus . Se liittää todennäköisyyskentän Ω jokaiseen alkioon eli mahdolliseen alkeistapaukseen jonkin reaalilukuarvon. Jos siis alkeistapaus oletetaan valituksi, on satunnaismuuttujan arvo yksikäsitteisesti määritelty, joten siinä mielessä se ei ole satunnainen eikä muuttuja. Sovelluksissa todennäköisyyskentän alkiot kuitenkin tarkoittavat satunnaisia tapahtumia, jotka tapahtuvat tietyllä todennäköisyydellä, ja näin ollen satunnaismuuttujastakin voidaan käytännön kannalta sanoa, että se saa tiettyjä tai tietyllä välillä olevia arvoja tietyillä todennäköisyyksillä.

Yleisin tapa merkitä satunnaismuuttuja lienee iso kirjain, kuten . Satunnaismuuttujaa merkitään joskus pienellä kirjaimella. Tällöin se tavataan erottaa vakioista, joita myös merkitään yleensä pienillä kirjaimilla, alleviivauksella, kuten , tai painolaadun salliessa lihavoinnilla, kuten .

Satunnaismuuttujan kertymäfunktio on reaalifunktio

.

Se on kaikille satunnaismuuttujille olemassa ja yksikäsitteinen.

Satunnaismuuttuja on diskreetti, jos perusjoukko on numeroituva, ja jatkuva, jos sen kertymäfunktio on derivoituva, jolloin kyseistä derivaattaa kutsutaan tiheysfunktioksi. Satunnaismuuttujat, jotka eivät ole kumpaakaan kutsutaan muun muassa sekatyyppisiksi. Satunnaismuuttujaa sanotaan yksinkertaiseksi, jos se voi saada vain äärellisen määrän eri arvoja. Nopanheitto käy esimerkiksi tällaisesta tilanteesta.

Riippumattomuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Riippumattomuus on tärkeä satunnaismuuttujien ja tapahtumien välinen ominaisuus. Satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, jos yhtälö

pätee kaikilla Borel-joukoilla ja .

Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos ne eivät vaikuta toisiinsa, toisin sanoen jos B tapahtuu yhtä suurella todennäköisyydellä, olipa A tapahtunut tai ei, ja kääntäen. Matemaattisesti voidaan määritellä, että ja ovat riippumattomat, jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomat, missä tarkoittaa indikaattorifunktiota. Tämä on yhtä kuin ehto

.

Vastaavat ehdot useammille satunnaismuuttujille ja tapahtumille on pädettävä kaikkien indeksikombinaatioiden yli. Esimerkiksi, tapahtumat , ja ovat riippumattomat, jos kaikki yhtälöt

,
,
,
ja

pätevät.

Tunnuslukuja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Satunnaismuuttujan odotusarvo on sen integraali yli otosavaruuden, joka on todennäköisyysmitan avulla merkittynä

.

Sille on vakiintunut merkintä . Satunnaismuuttujan sanotaan olevan integroituva, jos .

Odotusarvo on satunnaismuuttujan tärkein tunnusluku. Suurten lukujen lakien mukaan satunnaismuuttujan keskiarvo toistokokeessa on likimäärin sen odotusarvo.

Satunnaismuuttujan sanotaan olevan neliöintegroituva, jos . Neliöintegroituvan satunnaismuuttujan varianssi on .

Satunnaismuuttujajonon konvergenssi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Erilaiset konvergenssit ovat tärkeitä satunnaismuuttujien ominaisuuksia. Olkoon jono satunnaismuuttujia.

  • jono suppenee melkein varmasti, jos
  • jono suppenee stokastisesti kohti satunnaismuuttujaa , jos kaikilla pätee
  • jono suppenee jakaumaltaan, jos niiden kertymäfunktioiden jono suppenee pisteittäin jotakin kertymäfunktiota kohti
  • jos kaikilla , niin suppenee kvadraattisesti kohti satunnaismuuttujaa , jos

Jos jono suppenee kvadraattisesti tai melkein varmasti, niin se suppenee myös stokastisesti. Jos jono suppenee stokastisesti, niin se suppenee myös jakaumaltaan.

Ehdollinen todennäköisyys ja odotusarvo[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Varsinkin koulumatematiikassa käytetään havainnollista ehdollisen todennäköisyyden määritelmää. Jos tapahtumalle pätee , niin tapahtuman todennäköisyys ehdolla on

.

Tämä on tulkittava siten, että jos on ikään kuin tieto, että sattuu eli , niin yllä oleva on todennäköisyys sille, että myös on sattunut eli . Tästä lähtökohdasta voidaan todistaa seuraavat ominaisuudet:

  • Ehdollinen todennäköisyys toteuttaa todennäköisyysmitan määritelmän. Täten mitalla on todennäköisyysmitan kaikki ominaisuudet. Esimerkiksi, jos ja ovat tapahtumia, niin yhteenlaskukaava pätee muodossa
  • jos tapahtumat ja ovat riippumattomia, niin
  • kertolaskukaava:

Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo alisigma-algebralla on -mitallinen satunnaismuuttuja , jolle yhtälö

pätee kaikilla . Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo ehdolla satunnaismuuttuja on , missä tarkoittaa satunnaismuuttujan virittämää sigma-algebraa.

On huomattava, että ehdollinen odotusarvo on satunnaismuuttuja, eli funktio, eikä reaaliluku. Ehdollinen odotusarvo ehdolla on , missä , on reaaliluku.

Ehdollisen odotusarvon ominaisuuksia:

  • jos , niin
  • karkeus voittaa aina eli iteratiivisuus: jos , niin
  • lineaarisuus: jos ja , niin
  • jos on -mitallinen, niin
  • jos on -mitallinen ja rajoitettu, niin

Alisigma-algebran tulkinta on ikään kuin etukäteen havaittavissa oleva tieto satunnaismuuttujan arvosta. Triviaali sigma-algebra vastaa täydellistä epätietoisuutta, , ja satunnaismuuttujan virittämä sigma-algebra vastaa tarkkaa tietoa sen arvosta, .

Joukon ehdollinen todennäköisyys on . Tämä yhtenee koulumatematiikan ehdollisen todennäköisyyden kanssa siten, että jos , niin .

Todennäköisyyslaskennan kaavoja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tapahtuma ei satu todennäköisyydellä . Tapahtuma sattuu, mutta ei, todennäköisyydellä . Jos ja ovat toisensa poissulkevia, niin . Jos sattuu aina kun sattuu, niin .

Yhteenlaskukaava[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tapahtuma tai sattuu todennäköisyydellä . Yhteenlaskukaavan yleinen muoto: jos ovat tapahtumia, niin

Kokonaistodennäköisyyden kaava[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon tapahtuma ja tapahtumat perusjoukon ositus. Kokonaistodennäköisyyden kaava:

.

Bayesin kaava[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon tapahtuma ja tapahtumat perusjoukon ositus. Bayesin kaava:

kaikilla pätee

Lukua kutsutaan prioritodennäköisyydeksi ja lukua posterioritodennäköisyydeksi.

Tuloperiaate ja summaperiaate[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tuloperiaate: jos satunnaiskoe koostuu :sta kappaleesta riippumattomia vaiheita siten, että ensimmäisellä vaiheella on eri tulosvaihtoehtoa, toisella vaiheella tulosvaihtoehtoa, ja niin edelleen niin että viimeisellä vaiheella on tulosvaihtoehtoa, niin koko kokeella on tulosvaihtoehtoa.(en)

Summaperiaate: jos satunnaiskoe koostuu :sta kappaleesta toisensa poissulkevia ryhmiä lopputuloksia siten, että ensimmäisessä ryhmässä on tulosvaihtoehtoa, toisessa ryhmässä tulosvaihtoehtoa, ja niin edelleen niin että viimeisessä ryhmässä on tulosvaihtoehtoa, niin kokeella on tulosvaihtoehtoa.(en)

Todennäköisyysteorian lauseita[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Konvergenssilauseet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon jono satunnaismuuttujia, jonka raja-arvo

on melkein varmasti olemassa.

Mittateorian konvergenssilauseet pätevät todennäköisyyden mittateoreettisen määrittelyn vuoksi sellaisenaan, kun integraali korvataan odotusarvolla ja mitallinen funktio satunnaismuuttujalla. Ne voidaan kuitenkin yleistää ehdolliselle odotusarvolle siten, että jonon raja-arvon oton ja ehdollisen odotusarvon oton järjestyksen voi vaihtaa:

melkein varmasti,

missä on sigma-algebra.

Monotonisen konvergenssin lause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Oletetaan, että toinen alla olevista ehdoista on voimassa:

  • on melkein varmasti kaikilla ja jollakin pätee melkein varmasti
  • on melkein varmasti kaikilla ja jollakin pätee melkein varmasti

Tällöin raja-arvon ja ehdollisen odotusarvon järjestyksen voi vaihtaa.

Dominoidun konvergenssin lause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos on olemassa integroituva satunnaismuuttuja siten, että melkein varmasti kaikilla , niin raja-arvon ja ehdollisen odotusarvon järjestyksen voi vaihtaa.

Fatoun lemma[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon jono satunnaismuuttujia. Myös mittateorian Fatoun lemma voidaan yleistää ehdolliselle odotusarvolle:

ja

,

missä on sigma-algebra.

Suurten lukujen lait[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

"Suurten lukujen lakia" kuvaava simulaatio. Joka kerta kun kolikkoa heitetään, laitetaan punainen tai sininen piste vastaavaan pylvääseen. Alussa ero voi olla suurikin, mutta lähenee lopulta arvoa 50 %.

Todennäköisyyslaskennassa suurten lukujen laeiksi kutsutaan riittäviä ehtoja sille, että satunnaismuuttujajonon keskiarvo suppenee (jollakin tavalla) kohti sen keskiarvon odotusarvoa. Jos kyseessä on erityisesti toistokoe, niin suurten lukujen lain voidaan tulkita ehdoksi sille, että kokeiden tulosten keskiarvo lähestyy kokeen odotusarvoa.

Suurten lukujen laista on olemassa useita matemaattisina teoreemoina todistettuja muunnelmia. Niistä vanhin on toistokokeita koskeva, Jakob Bernoullin todistama Bernoullin lause: Oletetaan, että jos jokin toistokoe suoritetaan n kertaa ja joka kerta toisistaan riippumatta tietty tulos X saavutetaan tietyllä vakinaisella todennäköisyydellä P0. Silloin jos ε on kuinka pieni positiivinen luku tahansa, niin todennäköisyys sille, että sellaisten kertojen suhteellinen osuus, joilla tulos X on saavutettu, poikkeaa P0:stä enemmän kuin ε:n verran, lähestyy nollaa, kun n kasvaa rajatta. Toisin sanoen jos n on kaikkien toistokertojen lukumäärä ja x sellaisten, joilla tämä tulos on saatu, niin

,

kun .


Esimerkiksi rahan heitossa kruunien ja klaavojen suhteelliset frekvenssit lähestyvät todennäköisesti puolikasta ja toisiaan, kun rahan heittämistä jatketaan. Tosin heitettiinpä rahaa kuinka monta kertaa tahansa, aina on mahdollista sekin, että kaikilla kerroilla tulee kruuna tai kaikilla klaava; tällainen sattuma vain käy sitä epätodennäköisemmäksi, mitä useampia kertoja heitto toistetaan. Suurten lukujen laki ei myöskään tarkoita, että kruunien ja klaavojen lukumääräfrekvenssit lähestyisivät toisiaan. Suhteellisten frekvenssien lähestyminen ei edellytä tätä.

Kolmogorovin vahva suurten lukujen laki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos satunnaismuuttujat , , ovat riippumattomia, samoin jakautuneita ja , niin jonon keskiarvo suppenee melkein varmasti kohti satunnaismuuttujien odotusarvoa, toisin sanoen

melkein varmasti kun .

Keskeinen raja-arvolause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: Keskeinen raja-arvolause

Olkoot satunnaismuuttujat , , ovat riippumattomia, samoin jakautuneita, ja . Tällöin

heikon konvergenssin mielessä. Tässä siis on standardinormaalijakauman kertymäfunktio. Tulos pätee myös lievemmällä oletuksella, jota kutsutaan Lindebergin ehdoksi, nimetty suomalaisen matemaatikko J.W. Lindebergin mukaan. Hän todisti ehdon riittävyyden, mikä on kenties merkittävin yksittäinen suomalaisen matemaatikon tulos - kyseinen ehto on nimittäin myös (tietyn tasapainoehdon vallitessa) välttämätön ehto lauseen pätemiselle, ja siten ratkaisu 1900-luvun alkupuolella vaikuttaneeseen keskeiseen raja-arvoprobleemaan.

Kolmogorovin 0–1-laki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon jono riippumattomia satunnaismuuttujia. Merkitään äärettömän kaukaisista jonon arvoista riippuvien tapahtumien sigma-algebraa symbolilla

.

Jos tapahtuma , niin

tai .

Borelin–Cantellin lemma on erikoistapaus Kolmogorovin 0–1-laista.

Borelin–Cantellin lemma[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon jono riippumattomia tapahtumia. Tällöin

tai .

Borelin–Cantellin lemmalla voidaan todistaa väite: "Jos apina paukuttaa kirjoituskoneella umpimähkäisesti äärettömän pitkään, kirjoittaa se lopulta kaikki Shakespearen teokset."

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Pekka Tuominen: Todennäköisyyslaskenta I. Limes ry (1996).
  • Gustav Elfving ja Pekka Tuominen: Todennäköisyyslaskenta II. Limes ry (1990).
  • Kolmogorov: Foundations of the Theory of Probability, (1933).
  • Pertti Laininen: Todennäköisyys ja sen tilastollinen soveltaminen, Otatieto (1998).
  • Tommi Sottinen: Todennäköisyysteoria, (2006)

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]