Lukumäärämitta

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Lukumäärämitta on mitta, joka kertoo joukon alkioiden lukumäärän. Lukumäärämitta toimii lähinnä yksinkertaisena esimerkkinä mitasta, mutta sen avulla voidaan myös tutkia sarjateoriaa mittateorian perustulosten avulla.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos X on joukko, niin lukumäärämitta on kuvaus , jolle

missä merkintä |A| tarkoittaa äärellisen joukon alkioiden lukumäärää eli mahtavuutta. Lukumäärämitta toteuttaa mitan ehdot.

Yhteyksiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Lukumäärämitalla on yhteys Diracin mittaan: jos , niin
  • Lukumäärämittaa voidaan hyödyntää sarjateoriassa. Jos perusavaruus X on numeroituva, eli voimme kirjoittaa , niin lukumäärämitan integraali palautuu tavalliseksi sarjaksi: jos , niin lukumäärämittaa vastaava mittaintegraali

Tällöin myös funktion f lukumäärämittaintegroituvuus palautuu kysymykseen siitä suppeneeko edellä oleva sarja itseisesti.

Tämän tiedon avulla voimme osoittaa niin sanotun Hölderin epäyhtälön sarjoille käyttämällä -normien vastaavaa Hölderin epäyhtälöä.