Lukumäärämitta

Lukumäärämitta on mitta, joka kertoo joukon alkioiden lukumäärän. Lukumäärämitta toimii lähinnä yksinkertaisena esimerkkinä mitasta, mutta sen avulla voidaan myös tutkia sarjateoriaa mittateorian perustulosten avulla.

Määritelmä

Jos X on joukko, niin lukumäärämitta on kuvaus $\mu :{\mathcal {P}}(X)\rightarrow [0,+\infty ]$, jolle

$\mu (A)=\left\{{\begin{matrix}|A|,&{\textrm {jos}}\ A\ {\textrm {on}}\ {\textrm {aarellinen}}\\+\infty ,&{\textrm {muulloin}},\end{matrix}}\right.$

missä merkintä |A| tarkoittaa äärellisen joukon alkioiden lukumäärää eli mahtavuutta. Lukumäärämitta toteuttaa mitan ehdot.

Yhteyksiä

• Lukumäärämitalla on yhteys Diracin mittaan: jos $A\subset X$, niin

$\mu (A)=\sum _{x\in A}\delta _{x}(X).$

• Lukumäärämitta yhtyy myös nollaulotteiseen Hausdorffin mittaan:

$\mu ={\mathcal {H}}^{0}.$

• Lukumäärämittaa voidaan hyödyntää sarjateoriassa. Jos perusavaruus X on numeroituva, eli voimme kirjoittaa $X=\{x_{i}:i\in \mathbb {N} \}$, niin lukumäärämitan integraali palautuu tavalliseksi sarjaksi: jos $f:X\rightarrow \mathbb {R}$, niin lukumäärämittaa vastaava mittaintegraali

$\int _{X}\,f\,d\mu =\sum _{i=1}^{\infty }f(x_{i}).$

Tällöin myös funktion f lukumäärämittaintegroituvuus palautuu kysymykseen siitä suppeneeko edellä oleva sarja itseisesti.

Tämän tiedon avulla voimme osoittaa niin sanotun Hölderin epäyhtälön sarjoille käyttämällä $L^{p}$-normien vastaavaa Hölderin epäyhtälöä.