Lukumäärämitta

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Lukumäärämitta on mitta, joka kertoo joukon alkioiden lukumäärän. Lukumäärämitta toimii lähinnä yksinkertaisena esimerkkinä mitasta, mutta sen avulla voidaan myös tutkia sarjateoriaa mittateorian perustulosten avulla.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos X on joukko, niin lukumäärämitta on kuvaus \mu : \mathcal{P}(X) \rightarrow [0,+\infty], jolle

\mu (A) = \left\{ \begin{matrix}|A|, & \textrm{jos} \ A \ \textrm{on} \ \textrm{aarellinen}  \\ +\infty, & \textrm{muulloin}, \end{matrix} \right.

missä merkintä |A| tarkoittaa äärellisen joukon alkioiden lukumäärää eli mahtavuutta. Lukumäärämitta toteuttaa mitan ehdot.

Yhteyksiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

\mu (A) = \sum_{x \in A} \delta_x (X).
\mu = \mathcal{H}^0 .
  • Lukumäärämittaa voidaan hyödyntää sarjateoriassa. Jos perusavaruus X on numeroituva, eli voimme kirjoittaa X = \{x_i : i \in \N \}, niin lukumäärämitan integraali palautuu tavalliseksi sarjaksi: jos f : X \rightarrow \R, niin lukumäärämittaa vastaava mittaintegraali
\int_X \, f \,  d\mu = \sum_{i = 1}^\infty f(x_i) .

Tällöin myös funktion f lukumäärämittaintegroituvuus palautuu kysymykseen siitä suppeneeko edellä oleva sarja itseisesti.

Tämän tiedon avulla voimme osoittaa niin sanotun Hölderin epäyhtälön sarjoille käyttämällä L^p-normien vastaavaa Hölderin epäyhtälöä.