Mittaintegraali

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Mittaintegraali on matemaattisessa analyysissa eräs integraali. Mittaintegraalin tavoitteena on luoda mitta-avaruuteen eräänlainen lineaarinen kuvaus, joka liittää jokaiseen mitalliseen funktioon jonkin luvun väliltä . Tämä integraalityyppi on alun perin matemaatikko Henri Lebesguen kehittämä. Tunnettu Lebesguen integraali on mittaintegraali, jonka mittana on Lebesguen mitta.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon mitta-avaruus. Integraali määritellään yksinkertaisten kuvausten kautta.

Kuvaus on yksinkertainen, jos

,

missä ; ja joukot ovat perusjoukon ositus ja on indikaattorifunktio.

Yksinkertaisen funktion integraali on

.

Olkoon kuvaus, joka on -mitallinen. Kuvauksen integraali on

.

Tätä esitysmuotoa kutsutaan mittaintegraaliksi. Yleensä mitta on yhteydestä selvä, jolloin sitä ei merkitä näkyviin, vaan käytetään lyhyempää tapaa

.

Kuvauksen integraali yli joukon on

.

Kuvaus on integroituva, jos pätee ehto

.

on integroituva yli joukon , jos pätee

.

on kvasi-integroituva, jos se ei ole integroituva, mutta pätee

tai .

Perusominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Oletetaan, joukko , ja ovat -mitallisia kuvauksia ja integroituvia yli joukon .

  • pätee kolmioepäyhtälö
  • summa on integroituva yli joukon ja
  • jos , niin on integroituva yli joukon ja
  • jos , niin
  • jos , niin
  • jos melkein kaikkialla joukossa , niin

Viimeinen ominaisuus voidaan tulkita niin, että funktion arvot nollajoukolla eivät vaikuta sen integraalin arvoon.

Jos lisäksi , ja ovat erillisiä sekä on -mitallisia kuvaus ja integroituva yli joukon , niin

.

Integroituvien funktioiden avaruudet ja [muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon mitta-avaruus, täydellinen mitta ja luku . Merkitään eksponentilla integroituvien funktioiden joukkoa symbolilla

.

Äärellisen oleellisen supremumin funktioiden joukkoa merkitään symbolilla

.

on siis integroituva jos ja vain jos . Sanotaan, että on neliöintegroituva, jos .

Ominaisuuksia:

  • on Banach-avaruus kaikilla
  • jos on äärellinen mitta ja , niin

Epäyhtälöitä integraalille[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Hölderin epäyhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos ja siten, että

,

sekä ja , niin Hölderin epäyhtälö on

.

Jos ja , niin epäyhtälö pätee muodossa

.

Lukuja ja kutsutaan toistensa Hölderin konjugaateiksi tai konjugoiduiksi eksponenteiksi.


Minkowskin epäyhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos , niin . Minkowskin epäyhtälö voidaan yleistää useammalle kuin kahdelle -funktiolle matemaattisen induktion avulla tai huomaamalla että avaruus on vakaa yhteenlaskun suhteen.

Fatoun lemma[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon joukko ja jono -mitallisia kuvauksia . Tällöin

ja

.

Konvergenssilauseet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon joukko ja jono -mitallisia kuvauksia siten, että jonon raja-arvo

on olemassa. Konvergenssilauseiksi kutsutaan ehtoja, joista seuraa, että

.

Toisin sanoen raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

Monotonisen konvergenssin lause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos pätee , niin raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

Dominoidun konvergenssin lause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos on olemassa integroituva kuvaus siten, että kaikilla melkein kaikkialla joukolla , niin jonon raja-arvo on integroituva ja raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

Kutsutaan myös Lebesguen dominoidun konvergenssin lauseeksi.

Rajoitetun konvergenssin lause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos ja kaikilla , niin jonon raja-arvo on integroituva ja raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

Integraalimitta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jokaiseen mitta-avaruuden mitalliseen kuvaukseen voidaan liittää mittaintegraali yli jokaisen joukon . Voidaan osoittaa, että tämä kuvaus

on itse asiassa mitta X:ssä. Tämä ns. integraalimitta on joskus hyödyllinen sovelluksissa, sillä siihen voidaan soveltaa kaikkia mitan ominaisuuksia.

Daniellin integraali[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Mittaintegraalille on olemassa myös vaihtoehtoinen määrittelytapa ns. Daniellin integraali, jossa integraali ensin määritellään niin yksinkertaisille funktioille ettei mittateoriaa tarvitse lainkaan ja sitten rajankäynnillä laajennetaan integraalin määritelmä yleisille funktioille. Mitta-avaruuteen määritelty Daniellin integraali johtaa samoihin tuloksiin kuin edellä määritelty mittaintegraali. Kuitenkin tietyissä yleistyksissä Daniellin integraalilla näyttää olevan etuja (kts. esimerkiksi Integral, measure and derivative: a unified approach. G.E.Shilov/B.L.Gurevich - Prentice-Hall 1966).

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Usein esiintyviä integraaleja:

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. Opintomoniste 15. Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7.