Perusjoukko (todennäköisyys)

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Perusjoukko [1][2] eli otosavaruus [3][4] eli näyteavaruus [4] eli tapahtuma-avaruus [5] on todennäköisyyslaskennassa peruskäsite, joka tarkoittaa satunnaisilmiön kaikkien erilaisten alkeistapauksien joukkoa. Kun alkeistapausten sijaan käytetään satunnaismuuttujan arvoja, muodostuu perusjoukko satunnaismuuttujan arvojoukosta. Käsitteen yhteydessä käytetään joukko-opin merkintöjä ja ajattelua. Perusjoukkoa merkitään yleensä (lue "oomega") tai [1][3][5][6][7]

Tapahtuman yleisyyttä arvioitaessa tulee ensin selvittää, mitkä satunnaisilmiön alkeistapaukset totetuttavat tarkasteltavan tapahtuman. Sitten selvitetään, mitkä ovat yleensä mahdolliset alkeistapaukset ja niistä muodostetaan perusjoukko. Klassisen todennäköisyysajattelun mukaan tapahtuman joukon koko verrattuna perusjoukon kokoon, määrittää tapahtuman yleisyyden eli todennäköisyyden. Muissakin todennäköisyyden määritelmissä pyritään samantapaiseen ajatteluun.[1][3][5][6]

Perusjoukko voi olla diskreettinen tai jatkuva. Diskreettisessä perusjoukossa arvoja on äärellinen määrä tai korkeintaan numeroituvasti ääretön määrä. Diskreettinen perusjoukko on yksinkertainen, jos sillä on vain äärellinen määrä alkioita. Jatkuvat perusjoukot ovat ylinumeroituvasti äärettömän kokoisia.[3][6]

Esimerkkejä perusjoukoista[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Diskreettejä tapauksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Diskreettisissä satunnaisilmiöissä on mahdollista luetella kaikki alkeistapaukset, jos niiden lukumäärä on äärellinen. Jos lähtökohtana on arpomisvälineen tulokset, jotka toimittavat satunnaisilmön tehtävää, saadaan seuraavia perusjoukkoja (numeroinnilla # viitataan kohtaan myöhemmin):

  • Kolikonheitto (#1):
  • Nopanheitto (#2):
  • Kortinnosto (#3):

Perusjoukon koko on näissä tapauksissa äärellinen. Arpomisvälineitä saattaa olla useita, jolloin alkeistapaukset saadaan kertomalla arpomisvälineen perusjoukot keskenään karteesina tulona. Tällöin alkeistapaus on kummankin arpomisvälineen tulosten :

  • Kolme kolikkoa (lyhenteet): joista muodostuu alkeistapausta.
  • Kaksi noppaa: joista muodostuu alkeistapausta.

Perusjoukon koko poikkeaa arpomisvälineen tuottamasta tuloksesta, mutta silti perusjoukon koko on äärellinen.

Joskun perusjoukko on diskreettinen, mutta sen koko on ääretön. Esimerkiksi pelissä, jossa heitetään kolikkoa kunnes saadaan kruuna, voi heittokertojen lukumäärä kohota suureksikin. Kruuna voi tulle heti, jolloin klaavoja nolla. Toisinaan heti klaavan jälkeen tulee kruuna, jolloin klaavojen lukumäärä on yksi. Mikään ei estä tulemasta kaksi, kolme, neljä ja niin edelleen klaavaa, ennen kuin saadaan ensimmäinen kruuna. Satunnaisilmiön luonne onkin sellainen, että klaavoja voi tulla kuinka monta vain. Siksi perusjoukko on (#4) Perusjoukon koko on numeroituvasti ääretön.

Jatkuvia tapaukset[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jatkuvissa satunnaisilmiöissä alkeistapaukset ovat reaalilukuja. Näiden luetteleminen on mahdotonta, joten niiden ilmoittamisessa tulee käyttää erilaisia ymmärrettäviä tapoja. Yleensä käytetään sanallisia ilmaisutapoja tai käytetään lukuvälejä.

  • Tuotteen alkoholipitoisuus (100% = 1): tai yleisemmin vain
  • Ihmisen pituus:
  • Tikan osumakohdat tikkatauluun kun origo on napakympissä (#5).

Satunnaismuuttujan perusjoukko[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: Satunnaismuuttuja

Satunnaismuuttujaksi kutsutaan sellaisia satunnais-ilmiöiden tuottamia arvoja, jotka ovat suoraan numeerisia. Alkeistapaukset voivat olla fyysisten arpomisvälineiden asentoja (kolikko, noppa), mutta niille voidaan "antaa" myös numeeriset arvot (nopan silmien luvut). Satunnaismuuttujan perusjoukko on kaikki sen saamat erilaisiet numeeriset arvot.[6][7]

Perusjoukot ja todennäköisyydet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Perusjoukon koko[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kun perusjoukko on yksinkertainen, jos se on muodostunut diskreettisistä ja äärellisistä alkeistapauksista tai satunnaismuuttujan arvoista. Tällöin voidaan perusjoukon alkioden lukumäärä laskea. Esimerkiksi perusjoukossa #1 se on kaksi, perusjoukossa #2 se on kuusi ja #3 se on 52. Äärettömän mutta numeroituvan perusjoukon koko on ääretön.[6][8][9]

Jatkuvat perusjoukot sisältävät ylinumeroituvan määrän alkeistapauksia tai arvoja. Perusjoukon koko olisi myös ääretön, etllei käytettäisi mittana muita tapoja. Lukuvälin pituus kelpaa koon suuruuden arvioksi. Samalla tavalla tikkataulun pinta-ala (#5) kelpaa todennäköisyyden määrityksen pohjaksi. Tapaa kutsutaan geometriseksi todennäköisyydeksi.[5][6][7]

Todennäköisyys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos diskreettiset alkeistapaukset ovat symmetrisiä, ovat niiden todennäköisyydet yhtä suuret ja siten ykkösen murto-osia. Yleistäen alkeistapauksilla voi olla eri esiintymistodennäköisyydet johtuen esimerkiksi arpomisvälineen epäsymmetriasta tai satunnaisilmiön erityisestä luonteesta. Samaa ajattelua voidaan soveltaa satunnaismuuttujien kohdalla. Vaikka arpomisväline olisikin symmetrinen, voi siitä johdettu satunnaismuuttuja olla epäsymmetrinen. Näin käy, kun satunnaismuuttujaksi valitaan kahden heiton summat.[6][7][8][9]

Jatkuvan perusjoukon osajoukkojen eli tapahtumien todennäköisyydet tulee määrittää todennäköisyysfunktion avulla. Diskreettisten tapahtumien eli perusjoukon minkä tahansa osajoukon todennäköisyys voidan aina määrittää. On kuitenkin osoittautunut, että jatkuvien perusjoukon osajoukoille määritelmä on liian väljä. On nimittäin olemassa tapahumajoukkoja, joille esimerkiksi additiivisuuden todennäköisyysaksiooma ei ole voimassa. Siksi tulee rajoittaa niiden tapahtumien lukumäärää, joille todennäköisyys määritetään. Parhaaksi menettelyksi on osoittautunut se, että otetaan käyttöön sigma-algebra, jolle todennäköisyydet määritetään.[10][11]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c Sottinen, Tommi: Todennäköisyysteoria, syksy 2006 (10 op, 5 ov) (luentomoniste), Helsingin Yliopisto, 2006
  2. Jyväskylän yliopisto: VI.2. Äärellinen todennäköisyyskenttä, 2008
  3. a b c d Kivelä, Simo K.: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet, M niin kuin matematiikka, 10.8.2000
  4. a b Saarnisaari, Harri: Todennäköisyys (luentomateriaalia), 2003
  5. a b c d Etälukio: Todennäköisyyden käsite
  6. a b c d e f g Alatupa, Sami et al.: Pitkä Sigma 6, s. 43−60. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Otava, 2010. ISBN 978-951-31-5343-4.
  7. a b c d Kivelä, Simo K.: Stokastinen muuttuja, M niin kuin matematiikka, 10.8.2000
  8. a b Albert, Jim: Listing All Possible Outcomes (The Sample Space), 1996
  9. a b Kivelä, Simo K.: Diskreetit jakaumat, M niin kuin matematiikka, 10.8.2000
  10. Ruskeapää, Heikki: Todennäköisyyslaskenta I(luentomoniste), Turun Yliopisto, 2012
  11. Weisstein, Eric W.: Sigma-Algebra (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)