Geometrinen todennäköisyys

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Jos arvotaan suuren ympyrän sisältä mikä tahansa piste, niin geometrisellä todennäköisyyslaskennalla voidaan määrittää keskustaan osumisen todennäköisyys.

Geometrinen todennäköisyys on todennäköisyyslaskennassa eräs tapa havainnollistaa jatkuvia alkeistapauksia tai satunnaismuuttujia esittämällä ne yksi- tai useampiulotteisina kuvioina. Kuviot muodostaneet pisteet tulkitaan alkeistapauksiksi, jotka ovat klassisen todennäköisyyslaskennan tapaan symmetrisiä eli yhtä yleisiä tapauksia. Vertaamalla kuvion osien mittoja, voidaan niitä vertaamalla laskea tapahtumien todennäköisyyksiä. Geometrista todennäköisyyslaskentaa pidetäänkin klassisen todennäköisyyslaskennan yleistyksenä.[1][2][3]

Reunaehdot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Geometrista todennäköisyyslaskentaa voidaan soveltaa tilanteisiin, jossa kaikki perusjoukon pisteet muodostavat geometrisen kuvion ja tapahtuman pisteet sen osakuvion. Todennäköisyyden suuruus ei saa riippua osakuvion sijainnista ja muodosta, vaan ainoastaan sen mitoista.[3]

Lukuvälien perusjoukkoja voidaan esittää lukusuoralla tai janalla. Myös tasokuviot ja tilavuuskappaleet voivat esittää perusjoukkoja, joista erotetaan osajoukkojen alueita. Perusjoukon koko saadaan pituuksista, aloista ja tilavuuksista, samoin tapahtumia edustavien osajoukkojen koko . Funktiolla ilmaistaan geometrisen kuvion koko (pituus, ala tai tilavuus eli mitta).[3]

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Oletetaan aluksi, että satunnaisilmiö voi valita minkä tahansa perusjoukkoa esittävän kuvion pisteistä yhtä todennäköisesti. Tapahtumat ovat perusjoukon osajoukkona kuvion osakuvio. Geometrisessä todennäköisyyslaskennassa oletetaan, että osakuvion piste valitaan todennäköisyydellä

[1][3]

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Buffalon neula

Yllä olevan ympyrän sisältä sattumanvaraisesti valittujen pisteiden osuminen keskustan alueelle riippuu ainoastaan ympyräalueiden pinta-aloista. Suurimman ympyrän säde on 4 senttimetriä ja keskustan ympyrän säde vain 2 senttimetriä. Ympyrän pinta-ala lasketaan , joten suuren ympyrän koko on ja pienen . Silloin kysytty todennäköisyys on

[1]

Sykkyrässä olevan metrin pituisen narun katkaiseminen saksilla voidaan muutta geometriseksi tehtävksi olettamalla katkaisukohdan valikoituvan sattumanvaraisesti. Naru voidaan aluksi ajatella olevan suoraksi ojennettuna lukusuoralla, jolloin se asettuu lukuvälille . Kun naru katkaistaan valitusta kohdasta , saadaan kaksi narun pätkää. Lukusuoralla nämä vastaavat välejä ja , joiden pituudet ovat ja . Todennäköisyyslaskut voidaan pelkistää luettelemalla suotuisat luvun arvot välien yhteispituuksina ja vertaamalla ne narun kokonaislituuteen (joka on yksi).[1]

Buffalon neula on ongelma, jossa lautalattialle heitetään neula tai tulitikku. Millä todennäköisyydellä neila osuu lattian raon kohdalle? Ongelma voidaan pelkistää kahden parametrin ongelmaksi: tikun keskikohdan ja tikun asentoon lattiarakoihin nähden.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c d Alatupa, Sami et al.: Pitkä Sigma 3, s. 43−54. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Otava, 2010. ISBN 978-951-31-5343-4.
  2. Koskenoja, Mika: Sattuman matematiikkaa I - klassinen todennäköisyys, matematiikkalehti Solmu, 2002
  3. a b c d Kivelä, Simo K.: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet, M niin kuin matematiikka, 10.8.2000