Todennäköisyyden aksioomat

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Todennäköisyysteoriassa tapahtuman A todennäköisyys määritellään yleensä siten, että todennäköisyys P toteuttaa Kolmogorovin aksioomat, jotka ovat saaneet nimensä venäläisen matemaatikon Andrei Kolmogorovin mukaan.

Olkoon kolmikko (Ω, F, P) mitta-avaruus. (Ω, F, P) on todennäköisyysavaruus, jos perusjoukko Ω on epätyhjä joukko, kokoelma F perusjoukon osajoukkoja on sigma-algebra ja todennäköisyys on mitta ja toteuttaa seuraavat todennäköisyyden aksioomat.

Ensimmäinen aksiooma[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tapahtuman todennäköisyys on positiivinen reaaliluku, tai nolla:

missä on tapahtumien joukko ja jokin tapahtuma joukossa .

Toinen aksiooma[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Koko perusjoukon todennäköisyys on yksi:

.

Kolmas aksiooma[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tätä ehtoa kutsutaan usein täysadditiivisuudeksi tai -additiivisuudeksi:

Jos tapahtumat ovat pistevieraita (ts. erillisiä), niin niiden yhdisteen todennäköisyys on niiden todennäköisyyksien summa:
.

Seurauksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aksioomista voidaan johtaa kaikki muut todennäköisyyden laskusäännöt, joista seuraavassa muutamia esimerkkejä.

Monotonisuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tyhjän joukon todennäköisyys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Todennäköisyys on normeerattu mitta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Todistukset[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Monotonisuus ja tyhjän joukon todennäköisyys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Määritellään ja , missä kaikilla . On helposti nähtävissä, että joukot ovat pistevieraita ja . Siten kolmannesta aksioomasta saamme

Yhtälön vasen puoli muodostuu epänegatiivisista luvuista, joiden summa on , joka on äärellinen. Tästä seuraa suoraan monotonisuus . Tyhjän joukon todennäköisyys voidaan todistaa asettamalla lisäksi vastaväite: jos niin yhtälön vasen puoli saa vähintään arvon

Jos , saadaan ristiriita, sillä tällöin yhtälön vasen puoli olisi ääretön, eikä , joka on äärellinen. Siis ja .

Todennäköisyys on normeerattu mitta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ensimmäisen aksiooman nojalla

ja , mikä sisältää väitteen.

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Pekka Tuominen: Todennäköisyyslaskenta I. Limes ry (2007).
  • Kolmogorov: Foundations of the Theory of Probability, (1933).