Satunnaismuuttujien riippuvuus

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Satunnaismuuttujien riippuvuus eli stokastinen riippuvuus [1] on todennäköisyyslaskennassa nimitys ilmiölle, jossa kahden satunnaismuuttujan saamat arvot ovat joko osittain tai kokonaan verrannollisia tai muuten riippuvaisia toistaan. Yleisessä tapauksessa toisistaan riippuvia satunnaismuuttujia voi olla useita. Satunnaismuuttujien riippuvuus voi olla seurausta niiden yhteisestä taustamekanismista, joka vaikuttaa satunnaismuuttujien saamiin arvoihin. Satunnaismuuttujien arvoihin vaikuttavat muutkin mekanismit, joiden antavat satunnaismuuttujille satunnaisia. Näiden mekanismien yhteisvaikutus on siten osittainen eli stokastinen riippuvuus. Jos kaksi satunnaismuuttujaa ovat riippumattomia, ei niiden arvoihin vaikuta mitään yhteisiä mekanismeja. Jos kaksi satunnaismuuttujaa ovat täysin riippuvia toisistaan, määrää toisen satunnaismuuttujan arvo täysin toisen satunnaismuuttujan arvon, ja päinvastoin. Tätä riippuvuutta kutsutaan funktionaaliseksi riippuvuudeksi. Satunnaismuuttujien riippuvuus on ilmiönä sukua tapahtumien riippuvuudelle.[2][1]

Satunnaismuuttujien välisen riippuvuuden mallintaminen vaatii niiden yhteisjakauman tarkastelua. Tällöin yhteisjakaumasta erotetaan eri satunnaismuuttujien suhteen ehdolliset reunajakaumat. Reunajakaumien avulla voidaan riippuvuuden laatua ja määrää mallintaa.[2][1]

Tapahtumien riippumattomuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: Tapahtumien riippuvuus

Kahden tapahtuman riippumattomuus tarkoittaa sitä, ettei tapahtumien todennäköisyydet riipu toisistaan. Merkitään tapahtumia ja ja lasketaan tapahtuman "tapahtuu A, kun tapahtuu myös B" ehdollinen todennäköisyys (merkitään ). Vertailun vuoksi, lasketaan myös tapahtuman todennäköisyys. Tapahtumat ovat toistaan riippumattomia, mikäli ehdollinen todennäköisyys ja kokonaistodennäköisyys ovat samat. Tapahtumalla ei ole silloin vaikutusta tapahtuman todennäköisyyteen. Yhtäsuuruudet tulisivat olla samat kummallakin tavalla ajateltuna eli

ja

Mikäli edelliset todennäköisyydet eivät ole yhtäsuuret, ovat tapahtumat riippuvia toistaan.[3][4][5]

Kun tapahtumat ovat riippumattomia toisistaan, voidaan tapahtuma "molemmat tapahtuu" (eli ) laskea

[3] (riippumattomien tapahtumien kertolaskusääntö)

Useamman riippumattoman tapahtuman todennäköisyys lasketaan vastaavasti

[6]

Riippumattomuuden testaamiseen löytyy työläs keino. Jos halutaan varmistaa, ovatko kolme tapahtumaa riippumattomia keskenään, tulee testit tehdä pareittain ja kaikki kolme yhdessä. Seuraavat yhdistelmät tulisi tällöin toteutua:[7][8]

Riipumattomuus toteutuu vastavasti useammalle tapahtumalle.

Satunnaismuuttujien riippuvuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Riippumattomuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, jos yhden satunnaismuuttujan saama arvo ei vaikuta toiseen (muihin) satunnaismuuttujan arvoihin ollenkaan ja näin on myös toisen (muiden) satunnaismuuttujan suhteen. Satunnaismuuttujat ovat riippumattomia, mikäli kaikilla tapahtumien ja yhdistelmillä satunnaismuuttujien väliset ehdolliset todennäköisyydet ovat samat kuin todennäköisyydet a priori.[4] Silloin

ja

Tällöin diskreettien satunnaismuuttujien kaikki yksittäiset tapahtumat tulisivat olla riippumattomia keskenään eli pistetodennäköisyyksillä

[9]

eli käyttäen pistetodennäköisyysfunktion merkintöjä

tai vaihtoehtoisesti diskreettien ja jatkuvien satunnaismuuttujien kaikki tapahtumat tulisivat olla vastaavasti riippumattomia keskenään

eli kertymäfunktiolla esitettynä

[10][4]

Tämä on kunkin yksittäisen satunnaismuuttujan jakauman ja niiden yhteisjakauman välinen yhtäsuuruusehto.

Jatkuvien satunnaismuuttujien tapaukessa sama pätee niiden tiheysfunktioille

[10]

ja niiden kertymäfunktiolle diskreetin tapauksen tapaan.

Jos satunnaismuuttujia on kolme, tutkitaan näiden riippumattomuuksia samaan tapaan kuin kolmen tapahtuman riippumattomuuksia. Tällöin tutkitaan riippumattomuus pareittain ja lopuksi kolmistaan. Kun kaikissa neljässä tapauksessa satunnaismuuttujat ovat riippumattomia, ovat kaikki satunnaismuuttujat keskenään riippumattomia. Jos tutkitaan satunnaismuuttujan riippumattomuutta, käydään läpi kaikki mahdolliset kombinaatiot. Niitä on kappaletta.[8][9][5]

Funktionaalinen riippuvuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktionaalinen riippuvuus viittaa täydelliseen riippuvuuteen, jossa kahden satunnaismuuttujan tapauksessa toisen arvon tunteminen mahdollistaa toisen arvon laskemisen. Tämä voidaan ilmaista yhtälöllä . Lineaarinen riippuvuus voidaan kirjoittaa lineaarikombinaationa .[1][5]

Useamman satunnaismuuttujan tapauksessa yksi satunnaismuuttuja määräytyy täysin, kun muiden arvot saadaan ensin käyttöön. Riippuvuuden laatu voi vaihdella suuresti. Yleisin käytetty riippuvuus on lineaarinen, jossa lineaarikombinaatio

[1]

liittää satunnaismuuttujien arvot toisiinsa. Tämän yleistys on mikä tahansa funktionaalinen riippuvuus

[1]

Stokastinen riippuvuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Satunnaismuuttujan riippuvuus voi olla osittaista siinä mielessä, ettei se ole täysin riippumatonta mutta ei myöskään täysin funktionaalisen riippuvaista. Tälle kiinnostavalle välimuodolle voidaan antaa nimeksi stokastinen riippuvuus, jossa sana stokastinen korostaa satunnaisuuden läsnäoloa.[4]

Riippuvuuden määrä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kahden satunnaismuuttujan riippuvuutta voidaan mitata käyttämällä kovarianssia ja korrelaatiota.

Kovarianssi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: Kovarianssi

Kahden satunnaismuuttujan ja riippuvuutta voidaan mitata laskemalla niiden välinen kovarianssi Kovarianssin ja riippuvuuden välistä suhdetta voidaan valaista tutkimalla satunnaismuuttujan arvojen poikkeamista sen odotusarvosta. Satunnaismuuttujan ja sen odotusarvon erotus eli poikkeama on Poikkeama saa tasapuolisesti sekä positiivisia että negatiivisia arvoja. Poikkeamien summasta tulee keskimäärin nolla, joten poikkeamien odotusarvo yleisesti aina nolla.

Kun kummankin satunnaismuuttujan poikkeamat kerrotaan keskenään , on tulos riippumattomassa tapauksessa nolla. Mikäli satunnaismuuttujat riippuvat toistaan, voi riippuvuus olla positiivista tai negatiivista. Riippuvuus on positiivista, kun sekä että poikeavat positiiviseen suuntaan yhdessä ja molemmat negatiiviseen suuntaan yhdessä. Poikkeamien tulo on tällöin aina positiivinen, koska tulontekijät ovat samanmerkkisiä. Jos poikkeaa positiiviseen suuntaan, kun poikkeaa negatiiviseen suuntaan, on poikkeamien tulo negatiivinen. Sama tulos saadaan, kun ne poikkeavat päinvastaisiin suuntiin.

Yleistäen voidaan sanoa, että kun , ovat satunnaismuuttuja riippuvia. Riippumattomuudelle sen sijaan ei riitä, että sillä tunnetaan tapauksia, jossa funktionaalinen riippuvuus aiheuttaa kovarianssille nolla-arvon. Kovarianssin arvon suuruus ei kerro, onko riippuvuus suurta vai pientä, sillä kovarianssin arvo riippuu myös satunnaismuuttujien varianssista. Riippuvuuden mittamiseen käytetäänkin korrelaatiota.

Korrelaatio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: Korrelaatio

Kovarianssin arvosta voidaan päätellä luotettavasti vain riippuvuuden suunta. Riippuvuuden määrä selviää, kun kovarianssin arvosta puhdistetaan kummankin satunnaismuuttujan keskihajonnan vaikutus. Keskihajonta on arvoltaan varianssin neliöjuuri eli . Korrelaation arvo lasketaan

Korrelaation arvot vaihtelevat nyt suljetulla välillä eikä niillä ole mittayksikköä. Kun on riippuvuus lineaarista, kun voi riippuvuuden todeta olevan stokastista. Arvosta nolla ei taaskaan voi vetää johtopäätöksiä siitä, että satunnaismuuttujat ovat riippumattomia. Sen vaihtoehdon mahdollisuutta voi tarkistaa käyttäen ehdollista todennäköisyyslaskentaa.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c d e f Koskenoja, Mika: Satunnaismuuttujien välinen riippuvuus, kurssin Johdatus todennäköisyyslaskentaan luentomuistiinpanoja, Helsingin yliopisto, 2013
  2. a b Mellin, Ilkka: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat, s.3−10, luentomoniste kurssista Todennäköisyyslaskenta, Aalto-yliopisto, 2007
  3. a b Alatupa, Sami et al.: Pitkä Sigma 6, s. 119−128. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Otava, 2010. ISBN 978-951-31-5343-4.
  4. a b c d Kivelä, Simo K.: Tapahtumien riippumattomuus, M niin kuin matematiikka, 10.8.2000
  5. a b c Apkarian, Naneh: Dependence and Independece of Random Variables, San Diegon yliopisto, USA
  6. Emet, Stefan: Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Turun Yliopisto, 2014
  7. Ruskeapää, Heikki: Todennäköisyyslaskenta I(luentomoniste), Turun Yliopisto, 2012
  8. a b George, Glyn: Testing for the independence of three events, s. 85−86, The Mathimatical Gazette
  9. a b Charikar, Moses: Random Variables (luento 21), Princetonin yliopisto, 2002
  10. a b Mellin, Ilkka: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat, s.46−53, luentomoniste kurssista Todennäköisyyslaskenta, Aalto-yliopisto, 2007