Yhteisjakauma

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Kahden satunnaismuuttujan yhteisjakauman (vihreä) kaksi reunafunktiota (punainen ja sininen) kuvattuna otosparven reunoille.

Yhteisjakauma on todennäköisyyslaskennassa usean satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma. Yhteisjakaumaa voidaan kutsua myös moniulotteiseksi todennäköisyysjakaumaksi. Monet yhteisjakauman ominaisuudet perityvät yhden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumasta, mutta satunnaismuuttujien keskinäiset riipuvuudet vaikuttavat sen ominaisuuksiin oleellisesti. Moniulotteisten todennäköisyysjakaumiin liittyviä käsitteitä ovat reunajakaumat, ehdolliset jakaumat ja näiden tunnusluvut, kuten esimerkiksi kovarianssi ja korrelaatio.[1]

Yhden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat kuvaavat useimpia satunnaisilmiöitä vain rajoitetusti, sillä satunnaisilmiöihin liittyy tavallisesti useita satunnaisia tekijöitä ja satunnaismuuttujien väliset riippuvuudet ovat silloin mielenkiinnon kohteina. Näitä on selvintä tarkastella yhteisjakauman avulla. Yhteisjakauman perusominaisuuksia voi tutkia jo kahden satunnaismuuttujan yhteisjakamalla.[1][2]

Kaksiulotteinen yhteisjakauma[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kahdesta satunnaismuuttujasta ja muodostetaan järjestetty pari määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan (myös satunnaisvektori [3]). Satunnaismuuttujat voivat olla esimerkiksi diskreettejä, jatkuvia tai näiden tyyppien sekamuotoinen yhdistelmä. Järjestetty pari voi lisäksi olla näiden tyyppien yhdistelmä. Yksinkertaisuuden vuoksi tässä ei esitetä sekamuotoisien satunnaismuuttujien merkintöjä, vaan ne ovat joko diskreettisia tai jatkuvia satunnaismuuttujien pareja.[1]

Todennäköisyysfunktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Todennäköisyysfunktio, joka on joko diskreettien satunnaismuuttujien pistetodennäköisyysfunktio tai jatkuvien satunnaismuuttujien tiheysfunktio, on kummassakin tapauksessa reaalilukufunktio

jolla on seuraavat alla esitetyt ominaisuudet.[1]

Diskreettien satunnaismuuttujien pistetodennäköisyysfunktiolle[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

kaikille
[2][3]

Jatkuvien satunnaismuuttujien tiheysfunktiolle[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

kaikille
[2][3]

Tapahtuma[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Diskreetissä tapauksessa tapahtuma on sellainen järjestetty pari , jonka pistetodennäköisyysfunktion arvo ei ole nolla

[1]

Jatkuvassa tapauksessa tapahtuma koostuu sellaista alueista , joissa tiheysfunktio, ja sen seurauksena myös todennäköisyysfunktio, ei ole koko ajan nolla

[1][3]

Kertymäfunktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kertymäfunktio voidaan muodostaa monilla eri tavoilla. Yleisin tapa on luoda tapahtumia, johon kerätään kaikkien satunnaismuuttujien arvot tiettyyn ylärajaan asti. Kaksiulotteisessa jakaumassa se tarkoittaa tapahtumaa

Kaksiulotteista kertymäfunktiota voidaan merkitä

ja sillä tarkoitetaan diskreetissä tilanteessa

[1]

ja jatkuvassa tilanteessa

[1]

Jatkuvassa tapauksessa, mikäli kertymäfunktio on derivoituva, saadaan osittaisderivoimalla kummankin satunnaismuuttujan suhteen

[1][2][3]

Derivaattafunktio on yhteisjakauman tiheysfunktio.

Reunajakaumat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: Reunajakauma

Yhteisjakauman ulottuvuuksia voidaan rajoittaa kiinnittämällä yksi tai useampia satunnaismuuttujia vakioiksi, ja laskemalla syntyvän alempiulotteisen jakauman todennäköisyys tai kertymäfunktiot. Näitä jakaumia kutsutaan yleisellä nimellä reunajakauma, joka on peräisin kahden satunnaismuuttujan jakauman ominaisuudesta.[1]

Kaksiulotteisen yhteisjakauman reunajakaumia on kaksi, joiden todennäköisyysfunktioiden muodostaminen esitetään tässä. Niiden pistetodennäköisyysfunktiot muodostetaan diskreetissä tapauksessa [1]

[1][4] (satunnaismuuttujan suhteen)
[1][4] (satunnaismuuttujan suhteen)

ja tiheysfunktiot jatkuvassa tapauksessa vastaavasti

[1][4]
[1][4]

Edellisillä reunajakaumilla on myös kertymäfunktiot ja , ja näiden tunnusluvut, kuten esimerkiksi odotusarvot ja ja varianssit ja , voidaan muodostaa reunajakaumista luonnollisella tavalla. Muut momentit saadaan esimerkiksi momenttifunktioista, jos ne ovat olemassa.

Tunnusluvut[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Momentit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: Momentit

Yhteisjakaumalle ja sen kummallekin reunajakuamalle voidaan määrittää momentit. Yhden satunnaismuuttujan jakaumille, kuten joskus reunajakaumille, origomomentit määritellään , keskusmomentit määritellään ja tekijämomentit Kahden satunnaismuuttujan yhteisjakaumille vastaavat jakaumat ovat ja Näiden määrittäminen yhteisjakaumalle voidaan suorittaa myös momenttifunktioilla ja generoivilla funktioilla.[5][6][7]

Odotusarvo[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kaksiulotteisen yhteisjakauman odotusarvo määritellään aina annetun reaalilukuarvoisen satunnaismuuttujan tai funktion avulla. Ellei eri satunnaismuuttujia voida muuttaa lausekkeeksi, ei odotusarvo ole määritelty. Eräs tapa kiertää tuo ongelma on laskea reunajakaumien odotusarvot ja ja muodostaa niistä järjestetty pari , joka määrää satunnaismuuttujien yhteisjakauman todennäköisyysmassan painopisteen arvot.[8]

Ennalta annetun reaaliarvoisen funktion odotusarvo määritellään [8]

kun on kyseessä diskreetit satunnaismuuttujat, ja

kun kyseessä on jatkuvat satunnaismuuttujat.[8][9]

Eräiden funktioiden, kuten esimerkiksi , avulla voidaan laskea satunnaismuuttujien summan odotusarvo, jolloin summien ja integraalien ominaisuuksista johtuen voidaan aina kirjoittaa

ja jos satunnaismuuttujat ovat riippumattomat, saadaan

[8]

Varianssit, kovarianssi ja korrelaatio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: Varianssi
Pääartikkeli: Kovarianssi

Samasta syystä kuin odotusarvon tapauksessa, yhteisjakauman varianssi ei ole suoraan määritelty. Se voidaan laskea vain satunnaismuuttujista muodostetulle funktiolle ja sitten kummankin reunajakauman osalta erikseen. Sen sijaan kovarianssi on määritelty niin, että se voidaan laskea kahdesta satunnaismuuttujasta seuraavasti [8]

(diskreettit satunnaismuuttujat)
(jatkuvat satunnaismuuttujat)

Varianssit lasketaan toisesta satunnaismuuttujasta (esimerkissä jatkuva s.m.)

missä on yhteisjakauman reunajakauma muuttujan suhteen.[8]

Riippumattomat satunnaismuuttujat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kaksi satunnaismuuttujaa ja ovat riippumattomat (merkitään joskus ), jos kummankin satunnaismuuttujan tapahtumat ja ovat riippumattomia toisistaan. Silloin pätee tulo

[3]

Asialla on joitakin seurauksia. Kun satunnaismuuttujat ovat riippumattomat, niin silloin voidaan kirjoittaa:[1][2][3]

  • (pistetodennäköisyysfunktiot ja tiheysfunktiot)
  • (kertymäfunktiot)
  • (momenttifunktiot)
  • (todennäköisyydet generoivat funktiot)

Moniulotteiset yhteisjakaumat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Edellä käsitelty kaksimuuttujainen eli kaksiulotteinen yhteisjakauma on jo moniulotteinen yhteisjakauma. Muodostettaessa moniulotteisia jakaumia jatketaan kaksiulotteisen jakauman periaatetta kaikissa suhteessa lisäämällä siihen puuttuvat muuttujat ja huomioimalla eri tilanteissa syntyvien vaihtoehtojen kasvava lukumäärä.

Tärkeitä moniulotteisia jakaumia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c d e f g h i j k l m n o p Mellin, Ilkka: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat, s.187−202, luentomoniste kurssista Todennäköisyyslaskenta, Aalto-yliopisto, 2007
  2. a b c d e Weisstein, Eric W.: Joint Distribution Function (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. a b c d e f g Ruskeapää, Heikki: Todennäköisyyslaskenta II, s.1−21, 2012, Turun Yliopisto
  4. a b c d Luentomoniste: Joint, marginal, and conditional distributions, kurrsilta Fundamental Principles of Actuarial Science, Toronton Yliopisto
  5. Mellin, Ilkka: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat, s.177−187, luentomoniste kurssista Todennäköisyyslaskenta, Aalto-yliopisto, 2007
  6. King, Frank:Ch 6: Probability Generating Functions, kurssin Probability luentomoniste, 2007–2008, University of Cambridge, Englanti
  7. Matematika Intézet: Ch4: Generating functions, Budapesti, Unkari
  8. a b c d e f Mellin, Ilkka: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat, s.203−240, luentomoniste kurssista Todennäköisyyslaskenta, Aalto-yliopisto, 2007
  9. Mellin, Ilkka: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat, s.241−255, luentomoniste kurssista Todennäköisyyslaskenta, Aalto-yliopisto, 2007