Reunajakauma

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Kahden normaalisti jakautuneen satunnaismuuttujan yhteisjakauman (vihreä) reunajakaumien kuvaajat (punainen, sininen).

Reunajakauma on todennäköisyyslaskennassa usean satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumasta muodostettu rajoitettu jakauma, jossa varioi vain yksi satunnaismuuttuja, tai osa satunnaismuuttujista, ja samalla huomioidaan muiden satunnaismuuttujien yhteisvaikutus todennäköisyyteen.[1] Reunajakaumat ovat erityisen hyödyllisiä kaksiulotteisissa yhteisjakaumissa, jossa reunajakaumiin jää jäljelle vain toinen satunnaismuuttuja. Niillä yritetään pääasiassa helpottaa yhteisjakauman toiminnan ymmärtämistä, mikä toimii hyvin riippumattomien satunnaismuuttujien tapauksessa.

Kaksiulotteisen yhteisjakauman reunajakaumat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Todennäköisyysfunktioilla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kaksiulotteinen yhteisjakauma muodostuu kahdesta satunnaismuuttujasta ja , jotka muodostavat järjestetyn parin Diskreetin yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktion arvo annetuilla arvoilla merkitään

[1][2]

ja jatkuvalla yhteisjakauman tiheysfunktiolla

olevalla reaaliarvoisella lausekkeella.

Reunajakaumia on kaksi, koska yksi satunnaismuuttuja voidaan "jättää pois" kahdella eri tavalla. Diskreetillä satunnaismuuttujaparilla reunajakaumat muodostetaan ensimmäisen satunnaismuuttujan suhteen

[1][2]

tai toisen satunnaismuuttujan suhteen

[1][2]

Jatkuvilla satunnaismuuttujaparilla muodostetaan vastaavasti

[1][2]

tai

[1][2]

Kertymäfunktioilla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kaksiulotteinen yhteisjakauman kertymäfunktiot muodostetaan todennäköisyysfunktioista summan tai määrätyn integraalin avulla. Tässä esitetään ylhäältä rajoitettujen kertymäfunktioiden muodostustavat. Diskreetin satunnaismuuttujaparin yhteisjakauman kertymäfunktio arvojen alla merkitään ja lasketaan

[1]

ja vastaavasti jatkuvan satunnaismuuttujaparin yhteisjakauman kertymäfunktio merkitään ja lasketaan

[1]

Näistä muodostetut reunajakaumien kertymäfunktiot ovat diskreettisillä satunnaismuuttujilla vastaavasti

[1]

sekä

[1]

ja jatkuvilla satunnaismuuttujilla

[1][3]

sekä

[1][3]

Esimerkki kahdella satunnaismuuttujalla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kaksi diskreettiä satunnaismuuttujaa muodostavat yhteisjakauman . Satunnaismuuttujalla on vain neljä arvoa joita ei mainita tässä. Vastaavasti satunnaismuuttujalla on myös neljä arvoa Jokaista arvoparia vastaa pistetodennäköisyys jollainen on esimerkiksi Kaikki todennäköisyydet on esitetty oheisessa taulukossa.

fxy(x,y) x1 x2 x3 x4 fy(y)↓
y1 432 232 132 132 832
y2 232 432 132 132 832
y3 232 232 232 232 832
y4 832 0 0 0 832
fx(x) → 1632 832 432 432 3232
Yhteis- ja reunajakaumat järjestetylle diskreetille satunnais- muuttujaparille. Yhteisjakauman pistetodennäköisyydet sijaitsevat keskustan 4×4-alueella, ja reunajakaumien todennäköisyydet sijaitsevat alimmalla vaakarivillä ja oikenpuoleisessa pystysarakkeessa.

Yhteisjakaumalla on kaksi reunajakaumaa ja . Reunajakaumat muodostetaan laskemalla kullekin satunnaismuuttujan arvoille yhteistodennäköisyydet. Esimerkiksi lasketaan

ja se on sijoitettu taulukkoon satunnaismuuttujan reunajakauman omalle riville alareunaan. Oikeassa pystysarakkeessa sijaitsevat satunnaismuuttujan reunajakauman todennäköisyydet.[1]

Moniulotteiset reunajakaumat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kolmiulotteiset yhteisjakaumien todennäköisyysfunktiot satunnaismuuttujille , ja ovat muotoa ja kertymäfunktioille Näiden reunajakaumia voidaan muodostaa "jättämällä pois" kaksi satunnaismuuttujaa laskemalla niiden vaikutukset todennäköisyyksiin mukaan jäljelle jäävän satunnaismuuttujan vaihteluihin. Silloin saadaan kolme reunajakaumaa: , ja

Näiden lisäksi voidaan muodostaa vielä kolme reunajakaumaa "jättämällä pois" vain yksi satunnaismuuttuja. Näin muodostettujen reunajakaumien todennäköisyysfunktiot olisivat , ja

Kun todennäköisyysjakaumien ulottuvuudet kasvavat, lisääntyvät myös eri mahdollisten reunajakaumien lukumäärät.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c d e f g h i j k l m Mellin, Ilkka: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat, s.187−202, luentomoniste kurssista Todennäköisyyslaskenta, Aalto-yliopisto, 2007
  2. a b c d e Luentomoniste: Joint, marginal, and conditional distributions, kurrsilta Fundamental Principles of Actuarial Science, Toronton Yliopisto
  3. a b Weisstein, Eric W.: Joint Distribution Function (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)