Tämä artikkeli käsittelee tilastotieteen käsitettä. Sanan muita merkityksiä on täsmennyssivulla Momentti . Momentti on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaismuuttujan jakaumasta määritelty tunnusluku , joka luonnehtii jakaumaa erityisellä tavalla. Yleisimmät momentit sisältyvät origomomentteihin , keskusmomentteihin ja tekijämomentteihin . Kuhunkin ryhmään sisältyy numeroituvasti ääretön määrä erilaisia momentteja.[1] [2]
Tavallinen momentti eli origomomentti määritellään diskreetin satunnaismuuttujan
X
{\displaystyle X}
E
(
X
r
)
=
∑
x
∈
Ω
x
r
p
(
x
)
.
{\displaystyle E(X^{r})=\sum _{x\in \Omega }x^{r}p(x).}
[2] Kun satunnaismuuttujalla on perusjoukossaan vain äärellinen määrä arvoja, voidaan momentti aina laskea. Mikäli perusjoukossa on numeroituvasti ääretön määrä arvoja, saadaan summa laskettua, mikäli se suppenee itseisesti .
Jatkuvan satunnaismuuttujan
Y
{\displaystyle Y}
E
(
Y
r
)
=
∫
−
∞
∞
y
r
f
(
y
)
d
y
,
{\displaystyle E(Y^{r})=\int _{-\infty }^{\infty }y^{r}f(y)\,\mathrm {d} y,}
[2] mikäli epäoleellinen integraali on itseisenä olemassa. Origomomentti voidaan merkitä myös
E
(
X
r
)
=
⟨
x
r
⟩
.
{\displaystyle E(X^{r})=\langle x^{r}\rangle .}
[2]
Kullekin eksponentin
r
{\displaystyle r}
positiiviselle kokonaislukuarvolle voidaan määritellä momentti
E
(
X
r
)
{\displaystyle E(X^{r})}
(
r
∈
{
1
,
2
,
.
.
.
}
,
μ
i
{\displaystyle (r\in \{1,2,...\},\;\mu _{i}}
[1]
r
=
1
:
μ
=
E
(
X
1
)
=
E
(
X
)
=
∫
−
∞
∞
x
f
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle r=1:\;\mu =E(X^{1})=E(X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x,}
odotusarvoksi .[1]
r
=
2
:
μ
2
=
E
(
X
2
)
=
∫
−
∞
∞
x
2
f
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle r=2:\;\mu _{2}=E(X^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)\,\mathrm {d} x,}
toiseksi momentiksi .
r
=
3
:
μ
3
=
E
(
X
3
)
=
∫
−
∞
∞
x
3
f
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle r=3:\;\mu _{3}=E(X^{3})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{3}f(x)\,\mathrm {d} x,}
kolmanneksi momentiksi .
r
=
n
:
μ
n
=
E
(
X
n
)
=
∫
−
∞
∞
x
n
f
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle r=n:\;\mu _{n}=E(X^{n})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}f(x)\,\mathrm {d} x,}
n:nneksi momentiksi .Vastaavasti voidaan määritellä momentit diskreetin satunnaismuuttujan tapauksessa. Eräs tapa tuottaa jakauman kaikki momentit on käyttää momenttifunktiota . Se määritellään diskreetissä tapauksessa[3]
E
(
e
t
X
)
=
∑
x
∈
Ω
e
t
x
p
(
x
)
{\displaystyle E(e^{tX})=\sum _{x\in \Omega }e^{tx}p(x)}
ja jatkuvassa tapauksessa
M
(
t
)
=
E
(
e
t
X
)
=
∫
−
∞
∞
e
t
x
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle M(t)=E(e^{tX})=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x}
=
1
+
t
μ
1
+
1
2
!
t
2
μ
2
+
1
3
!
t
3
μ
3
+
.
.
.
,
{\displaystyle =1+t\mu _{1}+{\tfrac {1}{2!}}t^{2}\mu _{2}+{\tfrac {1}{3!}}t^{3}\mu _{3}+...\,,}
missä
μ
1
,
{\displaystyle \mu _{1},}
μ
2
,
{\displaystyle \mu _{2},}
μ
3
,
{\displaystyle \mu _{3},}
μ
n
,
{\displaystyle \mu _{n},}
derivoimalla momenttifunktio n kertaa ja sijoittamalla siihen
t
=
0.
{\displaystyle t=0.}
[4]
Keskusmomentilla , keskimomentilla eli keskeisellä momentilla tarkoitetaan satunnaismuuttujan ja odotusarvon
μ
=
E
(
X
)
{\displaystyle \mu =E(X)}
diskreetin satunnaismuuttujan
X
{\displaystyle X}
[5]
E
(
(
X
−
μ
)
r
)
=
∑
x
∈
Ω
(
x
−
μ
)
r
p
(
x
)
.
{\displaystyle E((X-\mu )^{r})=\sum _{x\in \Omega }(x-\mu )^{r}p(x).}
Jatkuvan satunnaismuuttujan
Y
{\displaystyle Y}
E
(
(
Y
−
μ
)
r
)
=
∫
−
∞
∞
(
y
−
μ
)
r
f
(
y
)
d
y
,
{\displaystyle E((Y-\mu )^{r})=\int _{-\infty }^{\infty }(y-\mu )^{r}f(y)\,\mathrm {d} y,}
[5] mikäli summa suppenee itseisesti tai epäoleellinen integraali on itseisenä olemassa. Keskusmomentti voidaan merkitä myös
E
(
(
X
−
μ
)
r
)
=
⟨
(
x
−
μ
)
r
⟩
.
{\displaystyle E((X-\mu )^{r})=\langle (x-\mu )^{r}\rangle .}
[5]
Kullekin eksponentin
r
{\displaystyle r}
positiiviselle kokonaislukuarvolle voidaan määritellä keskusmomentti
E
(
(
X
−
μ
)
r
)
{\displaystyle E((X-\mu )^{r})}
(
r
∈
[
1
,
∞
)
)
{\displaystyle (r\in [1,\infty ))}
r
=
1
:
E
(
X
−
μ
)
=
∫
−
∞
∞
(
x
−
μ
)
f
(
x
)
d
x
=
0.
{\displaystyle r=1:\;E(X-\mu )=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )f(x)\,\mathrm {d} x=0.}
r
=
2
:
E
(
(
X
−
μ
)
2
)
=
∫
−
∞
∞
(
x
−
μ
)
2
f
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle r=2:\;E((X-\mu )^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{2}f(x)\,\mathrm {d} x,}
varianssiksi .[1] [2]
r
=
3
:
E
(
(
X
−
μ
)
3
)
=
∫
−
∞
∞
(
x
−
μ
)
3
f
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle r=3:\;E((X-\mu )^{3})=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{3}f(x)\,\mathrm {d} x,}
kolmanneksi keskusmomentiksi eli vinoudeksi .
r
=
4
:
E
(
(
X
−
μ
)
4
)
=
∫
−
∞
∞
(
x
−
μ
)
4
f
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle r=4:\;E((X-\mu )^{4})=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{4}f(x)\,\mathrm {d} x,}
neljänneksi keskusmomentiksi eli huipukkuudeksi .
r
=
n
:
E
(
(
X
−
μ
)
n
)
=
∫
−
∞
∞
(
x
−
μ
)
n
f
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle r=n:\;E((X-\mu )^{n})=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{n}f(x)\,\mathrm {d} x,}
n:nneksi keskusmomentiksi .Tekijämomentit , joita saadaan esimerkiksi todennäköisyyksiä generoivista funktioista , määritellään seuraavasti
E
(
X
(
r
)
)
=
E
(
X
(
X
−
1
)
(
X
−
2
)
.
.
.
(
X
−
r
+
1
)
)
,
{\displaystyle E(X^{(r)})=E(X(X-1)(X-2)...(X-r+1)),}
[6] [7] ja tarkemmin diskreetissä tapauksessa
E
(
X
(
X
−
1
)
(
X
−
2
)
.
.
.
(
X
−
r
+
1
)
)
=
∑
x
∈
Ω
(
x
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
.
.
.
(
x
−
r
+
1
)
)
p
(
x
)
.
{\displaystyle E(X(X-1)(X-2)...(X-r+1))=\sum _{x\in \Omega }(x(x-1)(x-2)...(x-r+1))p(x).}
[7] ja jatkuvassa tapauksessa
E
(
Y
(
Y
−
1
)
(
Y
−
2
)
.
.
.
(
Y
−
r
+
1
)
)
=
∫
−
∞
∞
(
y
(
y
−
1
)
(
y
−
2
)
.
.
.
(
y
−
r
+
1
)
)
f
(
y
)
d
y
.
{\displaystyle E(Y(Y-1)(Y-2)...(Y-r+1))=\int _{-\infty }^{\infty }(y(y-1)(y-2)...(y-r+1))f(y)\,\mathrm {d} y.}
Kolme ensimmäistä tekijämomenttia ovat
E
(
X
(
1
)
)
=
E
(
X
)
=
μ
,
{\displaystyle E(X^{(1)})=E(X)=\mu ,}
odotusarvo )[6]
E
(
X
(
2
)
)
=
E
(
X
(
X
−
1
)
)
=
E
(
X
2
−
X
)
=
E
(
X
2
)
−
E
(
X
)
=
V
a
r
(
X
)
=
σ
2
,
{\displaystyle E(X^{(2)})=E(X(X-1))=E(X^{2}-X)=E(X^{2})-E(X)=Var(X)=\sigma ^{2},}
varianssi )[6]
E
(
X
(
3
)
)
=
E
(
X
(
X
−
1
)
(
X
−
2
)
)
=
E
(
X
3
−
3
X
2
+
2
X
)
.
{\displaystyle E(X^{(3)})=E(X(X-1)(X-2))=E(X^{3}-3X^{2}+2X).}
↑ a b c d Liski, Erkki: Luku 5 Jatkuvat jakaumat , s.151−160, luennosta Matemaattinen tilastotiede , Tampereen yliopisto, 2005
↑ a b c d e Weisstein, Eric W.: Moment (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi) ↑ Gamarnik, David & Tsitsiklis, John: Moment generating functions , luentomoniste "6.436J Fundamentals of Probability ", Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, s. 1−8, 2008
↑ Weisstein, Eric W.: Moment-Generating Function (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi) ↑ a b c Weisstein, Eric W.: Central Moment (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi) ↑ a b c Liski, Erkki: Luku 3 Satunnaismuuttujat, ehdollistaminen ja riippumattomuus , s.77−80, luennosta Matemaattinen tilastotiede , Tampereen yliopisto, 2005
↑ a b Weisstein, Eric W.: Factorial Moment (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
