Verrannollisuus

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Verrannollisuus on matematiikassa ja luonnontieteissä kahden suureen välinen erityinen riippuvuus, jossa kussakin tilanteessa suureiden saamien arvojen suhde pysyy vakiona. Matemaattisesti tämä voidaan ilmaista yhtälöllä. Olkoon suureet A ja B verrannolliset, jolloin niiden arvojen suhde on aina k. Silloin voidaan kirjoittaa

Tällöin sanotaan, että "suure A on verrannollinen suureeseen B" ja se voidaan lyhentää joko tai .[1][2]

Edellinen yhtälö voidaan kirjoittaa myös tulomuodossa

Jos suureet A ja B ovat samanlaatuiset eli niillä on samat mittayksiköt, on kerroin k luku ja sitä kutsutaan suhdeluvuksi. On kuitenkin varsin yleistä, että suureet A ja B ovat erilaatuiset, jolloin kerroin k on itsekin suure ja sillä on mittayksikkö. Tällöin suuretta k kutsutaan myös verrannollisuuskertoimeksi.[1][2]

Verrannolliset suureet, verrannollisuuskerroin ja verranto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kahden samanlaatuisen (samat mittayksiköt) suureen A ja B suhde merkitään [3]

Suhde esittää kahta eri tilannetta, jossa verrataan samaa laautua olevia suureita keskenään. Tällainen tilanne on esimerkiksi kahden pinta-alan välinen suhde

ja kerroin k = 1 : 2 = 0,5 on tällöin paljas luku, koska mittayksiköt supistuvat pois.[3]

Kahden erilaatuisen (eri mittayksiköt) suureiden A ja B suhde merkitään samalla tavalla

missä kerroin k on mittayksiköllinen suure. Esimerkiksi talon yhden suuruisen seinän maalaamiseen kuluu maalia. Verrannollisuuskertoimeksi saadaan

Saman talon toista seinää toisena päivänä maalatessa suureet C ja D ovat erilaiset. Nyt merkitään

missä k on edelleen sama, koska maalin kulutus on säilynyt samana. Suhdeluvut ovat samat, joten suureet A ja B sekä C ja D ovat verrannolliset ja tämä merkitään suuren mitatuilla arvoilla

ja

tai suureiden muuttujilla

ja

tai suureiden nimillä

Matemaattisesti nämä kaksi suhdetta (maalaustilannetta) voidaan kirjoittaa verrantoyhtälöksi, koska verrannollisuuskertoimet täsmäävät [1][2]

Suoraan verrannollisuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suoraan verrannollisuus on toinen nimitys suureiden A ja B verrannollisuudelle, jotka ovat suoraan sellaisinaan toisilleen verrannollisia. Tämä merkitään edelliseen tapaan ja verrannollisuuskertoimen sisältävä yhtälö kirjoitetaan [4]

Toisilleen suoraan verrannolliset suureet ovat esimerkiksi omenien paino m ja niiden hinta h. Silloin verrannollisuuskerroin k on esimerkiksi eli kilohinta ja ostoksen hinta laksetaan yhtälöstä .

Kääntäen verrannollisuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suureet A ja B ovat kääntäen verrannollisia, jos suureen A käänteisarvo (käänteisluku) on verrannollinen suureeseen B, tai päin vastoin. Tämä merkitään joko tai (potenssina ), ja yhtälö kirjoitetaan joko (potenssina ) tai [5]

Toisilleen kääntäen verrannollisia suureita ovat esimerkiksi samaan automatkaan liittyvät keskinopeus v ja ajoaika t. Silloin nopeuden kasvaessa aika lyhyenee ja päinvastoin. Tämä kirjoitetaan . Verrannollisuuskerroin k on silloin (kilometriä) eli kuljettava matka, kun .

Neliöön ja kuutioon verrannollisuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Neliöön verrannolliset suureet voidaan merkitä , jolloin suureet A ja B eivät ole suoraan verrannolliset mutta suureet A ja ovat sitä. Näistä muodostettu yhtälö on (suureen positiiviset arvot)

joka voidaan muuntaa

eli

missä b² = k. Neliöön verrannollisuus on (lähes) sama kuin neliöjuureen verrannollisuus

Esimerkiksi paikaltaan lähtevän ja tasaisesti kiidyttävän junan liike-energia E on neliöön verrannollinen junan loppunopeuteen v. Verrannollisuuskerroin k on junan massan puolikas, kuten yhtälöstä huomataan.

Kuutioon verrannolliset suureet voidaan merkitä , jolloin suureet A ja ovat suoraan verrannolliset. Näistä muodostettu yhtälö

voidaan muuntaa

missä b³ = k. Kuutioon verrannollisuus on sama kuin kuutiojuureen verrannollisuus

Esimerkiksi kalastajatroolarin moottorin tehontarve P on kuutioon verrannollinen veneen saavuttamaan huippunopeuteen v. Verrannollisuuskerroin k on esimerkiksi , kun riippuvuus kirjoitetaan yhtälönä .

Potenssiin verrannollisuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleisesti ilmaistuna suureet A ja B ovat potenssiin verrannolliset, kun eli eli .

Esimerkiksi ympyräradalla Aurinkoa kiertävä planeetta noudattaa Keplerin III lakia. Sen mukaan kiertoajan T neliö on verrannollinen ratasäteen R kuutioon eli . Silloin Maan kiertoradan yhtälössä verrannollisuuskerroin k on ja .

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c Väisälä KalleGeometria, s. 49-53. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf).
  2. a b c Weisstein, Eric W.: Proportional (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. a b Weisstein, Eric W.: Ratio (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. Weisstein, Eric W.: Directly Proportional (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. Weisstein, Eric W.: Inversely Proportional (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)