Verrannollisuus

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Verrannollisuus on matematiikassa ja luonnontieteissä kahden suureen välinen erityinen riippuvuus, jossa kussakin tilanteessa suureiden saamien arvojen suhde pysyy vakiona. Matemaattisesti tämä voidaan ilmaista yhtälöllä. Olkoon suureet A ja B verrannolliset, jolloin niiden arvojen suhde on aina k. Silloin voidaan kirjoittaa

Tällöin sanotaan, että "suure A on verrannollinen suureeseen B" ja se voidaan lyhentää joko tai .[1][2]

Edellinen yhtälö voidaan kirjoittaa myös tulomuodossa

Jos suureet A ja B ovat samanlaatuiset eli niillä on samat mittayksiköt, on kerroin k luku ja sitä kutsutaan suhdeluvuksi. On kuitenkin varsin yleistä, että suureet A ja B ovat erilaatuiset, jolloin kerroin k on itsekin suure ja sillä on mittayksikkö. Tällöin suuretta k kutsutaan myös verrannollisuuskertoimeksi.[1][2]

Verrannolliset suureet, verrannollisuuskerroin ja verranto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kahden samanlaatuisen (samat mittayksiköt) suureen A ja B suhde merkitään [3]

Suhde esittää kahta eri tilannetta, jossa verrataan samaa laautua olevia suureita keskenään. Tällainen tilanne on esimerkiksi kahden pinta-alan välinen suhde

ja kerroin k = 1 : 2 = 0,5 on tällöin paljas luku, koska mittayksiköt supistuvat pois.[3]

Kahden erilaatuisen (eri mittayksiköt) suureiden A ja B suhde merkitään samalla tavalla

missä kerroin k on mittayksiköllinen suure. Esimerkiksi talon yhden suuruisen seinän maalaamiseen kuluu maalia. Verrannollisuuskertoimeksi saadaan

Saman talon toista seinää toisena päivänä maalatessa suureet C ja D ovat erilaiset. Nyt merkitään

missä k on edelleen sama, koska maalin kulutus on säilynyt samana. Suhdeluvut ovat samat, joten suureet A ja B sekä C ja D ovat verrannolliset ja tämä merkitään suuren mitatuilla arvoilla

ja

tai suureiden muuttujilla

ja

tai suureiden nimillä

Matemaattisesti nämä kaksi suhdetta (maalaustilannetta) voidaan kirjoittaa verrantoyhtälöksi, koska verrannollisuuskertoimet täsmäävät [1][2]

Suoraan verrannollisuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suoraan verrannollisuus on toinen nimitys suureiden A ja B verrannollisuudelle, jotka ovat suoraan sellaisinaan toisilleen verrannollisia. Tämä merkitään edelliseen tapaan ja verrannollisuuskertoimen sisältävä yhtälö kirjoitetaan [4]

Toisilleen suoraan verrannolliset suureet ovat esimerkiksi omenien paino m ja niiden hinta h. Silloin verrannollisuuskerroin k on esimerkiksi eli kilohinta ja ostoksen hinta laksetaan yhtälöstä .

Kääntäen verrannollisuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suureet A ja B ovat kääntäen verrannollisia, jos suureen A käänteisarvo (käänteisluku) on verrannollinen suureeseen B, tai päin vastoin. Tämä merkitään joko tai (potenssina ), ja yhtälö kirjoitetaan joko (potenssina ) tai [5]

Toisilleen kääntäen verrannollisia suureita ovat esimerkiksi samaan automatkaan liittyvät keskinopeus v ja ajoaika t. Silloin nopeuden kasvaessa aika lyhyenee ja päinvastoin. Tämä kirjoitetaan . Verrannollisuuskerroin k on silloin (kilometriä) eli kuljettava matka, kun .

Neliöön ja kuutioon verrannollisuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Neliöön verrannolliset suureet voidaan merkitä , jolloin suureet A ja B eivät ole suoraan verrannolliset mutta suureet A ja ovat sitä. Näistä muodostettu yhtälö on (suureen positiiviset arvot)

joka voidaan muuntaa

eli

missä b² = k. Neliöön verrannollisuus on (lähes) sama kuin neliöjuureen verrannollisuus

Esimerkiksi paikaltaan lähtevän ja tasaisesti kiidyttävän junan liike-energia E on neliöön verrannollinen junan loppunopeuteen v. Verrannollisuuskerroin k on junan massan puolikas, kuten yhtälöstä huomataan.

Kuutioon verrannolliset suureet voidaan merkitä , jolloin suureet A ja ovat suoraan verrannolliset. Näistä muodostettu yhtälö

voidaan muuntaa

missä b³ = k. Kuutioon verrannollisuus on sama kuin kuutiojuureen verrannollisuus

Esimerkiksi kalastajatroolarin moottorin tehontarve P on kuutioon verrannollinen veneen saavuttamaan huippunopeuteen v. Verrannollisuuskerroin k on esimerkiksi , kun riippuvuus kirjoitetaan yhtälönä .

Potenssiin verrannollisuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleisesti ilmaistuna suureet A ja B ovat potenssiin verrannolliset, kun eli eli .

Esimerkiksi ympyräradalla Aurinkoa kiertävä planeetta noudattaa Keplerin III lakia. Sen mukaan kiertoajan T neliö on verrannollinen ratasäteen R kuutioon eli . Silloin Maan kiertoradan yhtälössä verrannollisuuskerroin k on ja .

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c Väisälä KalleGeometria, s. 49–53. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf).
  2. a b c Weisstein, Eric W.: Proportional (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. a b Weisstein, Eric W.: Ratio (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. Weisstein, Eric W.: Directly Proportional (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. Weisstein, Eric W.: Inversely Proportional (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)