Verranto

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Verranto on matemaattinen yhtälö, jossa kaksi kahden suureen suhdetta on merkitty yhtä suuriksi. Jos suureita merkitään kirjaimilla A, B, C ja D, kirjoitetaan verranto joko kaksoispisteillä

tai jakoviivoilla

Molemmat verrannon kirjoitusmuodot luetaan "A:n suhde B:hen on yhtä suuri kuin C:n suhde D:hen" tai vaihtoehtoisesti "A suhtautuu B:hen kuten C suhtautuu D:hen". Kun verrannossa olevat suureet liittyvät verrannollisuuteen, sanotaan "suureiden A ja B olevan verrannolliset suureisiin C ja D". Erotuksena muista verrannollisuuden lajeista tätä kutsutaan myös suoraan verrannollisuudeksi.[1][2][3]

Suureita A, B, C ja D kutsutaan verrannon ensimmäiseksi, toiseksi, kolmanneksi ja neljänneksi jäseneksi. Ensimmäinen ja neljäs jäsen ovat verrannon äärimmäiset jäsenet, ja toinen ja kolmas jäsen sen keskimmäiset jäsenet.[1]

Suureiden verrannolliset suhteet verrannoksi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kahden samanlaatuisen (samat mittayksiköt) suureen A ja B suhde merkitään [4]

missä k on suhdeluku. Suhde esittää kahta eri tilannetta, jossa verrataan samaa laatua olevia suureita keskenään. Tällainen tilanne on esimerkiksi kahden pinta-alan välinen suhde

ja suhdeluku k = 1 : 2 = 0,5 on tällöin paljas luku, koska mittayksiköt supistuvat pois.[4]

Kahden erilaatuisen suureiden A ja B suhde merkitään samalla tavalla

missä k on mittayksiköllinen suure (suhdeluku). Esimerkiksi erään talon suuruisen seinän maalaamiseen kuluu maalia. Suhdeluvuksi saadaan

Saman talon toista seinää toisena päivänä maalatessa suureet C ja D ovat erilaiset. Nyt merkitään

missä k on edelleen sama, koska maalin kulutus on säilynyt samana. Suhdeluvut ovat samat, joten suureet A ja B sekä C ja D ovat verrannolliset (merkitään ) ja merkitään suuren mitatuilla arvoilla

ja

tai suureiden muuttujilla

ja

tai suureiden nimillä

Matemaattisesti nämä kaksi suhdetta voidaan kirjoittaa verrantoyhtälöksi, koska suhdeluvut täsmäävät [1][5]

Johdetut verrannot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos verrantoa

halutaan muuntaa, saadaan esimerkiksi seuraavia uusia verrantoja (suureet eivät ole nollia) [6]:

  • Kääntämällä: (käänteisluvut ovat yhtä suuret)
  • Vuorottamalla: (kaikki suureet tulisivat olla samanlaatuisia)
  • Yhdistämällä: tai (molemmille puolille lisätään luku 1)
  • Erottamalla: tai (molemmilta puolilta vähennetään luku 1)

Ratkaistaan suure[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Verranto

on voimassa, jos ja vain jos sen äärimmäisten ja keskimmäisten jäsenen tulot AD ja BC ovat yhtä suuret eli

[6]

eikä kumpikaan luvuista B ja D ole nolla. Tämä voidaan osoittaa kertomalla (eli laventamalla) verannon molemmat puolet luvulla BD. Tällaista verrannon muuntamista tulojen väliseksi yhtälöksi sanotaan ristiin kertomiseksi. Tästä voidaan edelleen ratkaista yksi suure muiden avulla seuraavasti:[6]

tai tai tai

Keskiverto, kolmas verto ja neljäs verto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos on voimassa verranto

jossa siis molemmat keskimmäiset jäsenet ovat yhtä suuret, sanotaan, että B on lukujen A ja C keskiverto, ja C on lukujen A ja B kolmas verto.[7] Jos taas on voimassa verranto

,

jossa siis keskimmäiset jäsenet eivät välttämättä ole yhtä suuret, sanotaan, että luku D on lukujen A, B ja C neljäs verto.[7]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c Väisälä KalleGeometria, s. 49–53. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf).
  2. Weisstein, Eric W.: Directly Proportional (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. a b Weisstein, Eric W.: Inversely Proportional (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. a b Weisstein, Eric W.: Ratio (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. Weisstein, Eric W.: Proportional (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  6. a b c Väisälä KalleGeometria, s. 97–99. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf).
  7. a b ”Verranto”, Otavan iso Fokus, 7. osa (Sv–Öö), s. 4510. Otava, 1974. ISBN 951-1-01521-4.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]