Kombinaatio

Kombinatorisessa matematiikassa joukon alkioiden kombinaatio on joukon osajoukko. k-kombinaatio on joukon S osajoukko, jossa on k kappaletta jäseniä. Jäsenten listausjärjestyksellä ei ole merkitystä kombinaatioissa: kaikki joukot, jotka voidaan muodostaa vaihtamalla jäsenten järjestystä, esittävät samaa kombinaatiota. Sen sijaan variaatiossa jäsenten järjestyksellä on merkitystä eli eri järjestys on eri variaatio.

k-kombinaatioiden määrä on sama kuin binomikerroin "n yli k:n", joka kirjoitetaan yleensä

${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$,

missä

k = kombinaation jäsenten lukumäärä,

n = pääjoukon S jäsenten lukumäärä.

Myös kirjoitusasu C(n, k) on tavallinen sen käyttökelpoisuuden vuoksi tekstirivillä.

Oheisessa taulukossa on eräitä kombinaation C(n, k) arvoja. Erityisesti C(n, 0) = 1, C(n, 1) = n ja C(n, n) = 1. Voidaan myös kirjoittaa differenssiyhtälö C(n, k) = C(n – 1, k) + C(n – 1, k – 1) eli taulukkoarvo saadaan kahden aikaisemmin lasketun summana. Edelleen havaitaan, että sarakkeella n olevien lukujen summa on $\sum _{k=0}^{n}C(n,k)=2^{n}$

k   luku (kelt.) on kahden muun (sin.) summa 6   1 5   1 6 4   1 5 15 3   1 4 10 20 2   1 3 6 10 15 1   1 2 3 4 5 6   0   1 1 1 1 1 1 1   0   1   2   3   4   5   6 n 1 2 4 8 16 32 64 $2^{n}$

Kombinaatio voidaan esittää myös lukumäärän laskemista kuvaavilla summalausekkeilla:

${\binom {n}{1}}=\sum _{i=1}^{n}1$,

${\binom {n}{2}}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}1$,

${\binom {n}{3}}=\sum _{i=1}^{n-2}\sum _{j=i+1}^{n-1}\sum _{k=j+1}^{n}1$, jne.

Esimerkkejä

Esimerkki 1.

Luettelo eri tapauksista, kun viidestä valitaan kolme ihmistä (lukua).

C(5, 3) kertoo, kuinka monta erilaista kolmen hengen ryhmää voidaan muodostaa viiden henkilön joukosta. Lasketaan se:

${5 \choose 3}={\frac {5!}{3!(5-3)!}}={\frac {5\cdot 4\cdot 3\cdot 2!}{3!\cdot 2!}}={\frac {5\cdot 4\cdot 3}{3!}}={\frac {5\cdot 4\cdot 3}{6}}=5\cdot 2=10.$

Esimerkki 2.

Lasketaan todennäköisyys sille, että saadaan lotossa tasan k numeroa oikein $(0\leq k\leq 7)$:

Lasketaan ensiksi kaikkien niiden lottorivien määrä, joissa on tasan k numeroa oikein. Tämä saadaan laskemalla kaikki 7:n oikean numeron k-kombinaatiot, joka siis kertoo, kuinka monella tavalla 7:stä numerosta voidaan valita k numeroa (muista, että k on korkeintaan 7):

${7 \choose k}$

Nyt väärät numerot voivat olla mitä vain, vaikka selvästikin niiden muodostamat osajoukot vaikuttavat lopullisten rivien määrään. Ongelma ratkaistaankin kertomalla yllä oleva luku kaikkien 32 arpomatta jääneiden numeroiden (7-k) kombinaatiolla, eli kaikilla mahdollisilla väärin menneiden numeroiden kombinaatioilla:

${7 \choose k}{32 \choose 7-k}$

siis kertoo, kuinka monta erilaista lottoriviä voidaan muodostaa, joissa on täsmälleen k numeroa oikein ja 7-k väärin.

Kysytty todennäköisyys tapahtumalle saadaan, kun saatu luku jaetaan kaikkien mahdollisten lottorivien lukumäärällä ${39 \choose 7}$:

${7 \choose k}{32 \choose 7-k}:{39 \choose 7}$

Siten esimerkiksi todennäköisyys saada lotossa viisi oikein on

${7 \choose 5}{32 \choose 7-5}:{39 \choose 7}={7 \choose 5}{32 \choose 2}:{39 \choose 7}=21\cdot 496:15380937=10416:15380937\approx 1:1477\approx 0{,}0006772$

Katso myös

• Permutaatio

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Kombinaatio Wikimedia Commonsissa