Kombinaatio

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Kombinatorisessa matematiikassa joukon alkioiden kombinaatio on joukon osajoukko. k-kombinaatio on joukon S osajoukko, jossa on k kappaletta jäseniä. Jäsenten listausjärjestyksellä ei ole väliä kombinaatioissa - kaikki joukot, jotka voidaan muodostaa vaihtamalla jäsenten järjestystä esittävät samaa kombinaatiota. Sen sijaan variaatiossa jäsenten järjestyksellä on väliä eli eri järjestys on eri variaatio.

k-kombinaatioiden määrä on sama kuin binomikerroin "n yli k:n", joka kirjoitetaan yleensä;

,

missä

k = kombinaation jäsenten lukumäärä,
n = pääjoukon S jäsenten lukumäärä.

Myös kirjoitusasu C(n, k) on tavallinen sen käyttökelpoisuuden vuoksi tekstirivillä.

Oheisessa taulukossa on eräitä kombinaation C(n, k) arvoja.
Erityisesti C(n, 0) = 1, C(n, 1) = n ja C(n, n) = 1.

Voidaan myös kirjoittaa differenssiyhtälö

C(n, k) = C(n – 1, k) + C(n – 1, k – 1)

eli taulukkoarvo saadaan kahden aikaisemmin lasketun
summana.

Edelleen havaitaan, että sarakkeella n olevien lukujen
summa on

k   luku (kelt.) on kahden muun (sin.) summa
6   1
5   1 6
4   1 5 15
3   1 4 10 20
2   1 3 6 10 15
1   1 2 3 4 5 6
  0   1 1 1 1 1 1 1
  0   1   2   3   4   5   6 n
1 2 4 8 16 32 64

Kombinaatio voidaan esittää myös lukumäärän laskemista kuvaavilla summalausekkeilla:

,
,
, jne.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Esimerkki 1.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Luettelo eri tapauksista, kun viidestä valitaan kolme ihmistä (lukua).

C(5, 3) kertoo, kuinka monta erilaista kolmen hengen ryhmää voidaan muodostaa viiden henkilön joukosta. Lasketaan se:

Esimerkki 2.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lasketaan todennäköisyys sille, että saadaan lotossa tasan k numeroa oikein :

Lasketaan ensiksi kaikkien niiden lottorivien määrä, joissa on tasan k numeroa oikein. Tämä saadaan laskemalla kaikki 7:n oikean numeron k-kombinaatiot, joka siis kertoo, kuinka monella tavalla 7:stä numerosta voidaan valita k numeroa (muista, että k on korkeintaan 7):

Nyt väärät numerot voivat olla mitä vain, vaikka selvästikin niiden muodostamat osajoukot vaikuttavat lopullisten rivien määrään. Ongelma ratkaistaankin kertomalla yllä oleva luku kaikkien 32 arpomatta jääneiden numeroiden (7-k) kombinaatiolla, eli kaikilla mahdollisilla väärin menneiden numeroiden kombinaatioilla:

siis kertoo, kuinka monta erilaista lottoriviä voidaan muodostaa, joissa on täsmälleen k numeroa oikein ja 7-k väärin.

Kysytty todennäköisyys tapahtumalle saadaan, kun saatu luku jaetaan kaikkien mahdollisten lottorivien lukumäärällä :

Siten esimerkiksi todennäköisyys saada lotossa viisi oikein on

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]