Ulkomitta

Kohteesta Wikipedia
(Ohjattu sivulta Mitallinen funktio)
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Ulkomitta on mittateoriassa esiintyvä funktio, jonka avulla halutaan luoda mittoja.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon joukko. Kuvaus on ulkomitta jos ja vain jos se toteuttaa seuraavat kolme ehtoa:

  1. Tyhjälle joukolle pätee
  2. Jos , niin
  3. Jos kaikilla , niin .

Ehtoa (2) kutsutaan yleensä monotonisuudeksi tai kasvavuudeksi ja ehtoa (3) subadditiivisuudeksi.

Joukon mitallisuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos on ulkomitta :ssä, niin joukkoa kutsutaan -mitalliseksi jos ja vain jos kaikilla pätee

.

Tätä ehtoa kutsutaan kirjallisuudessa usein Carathéodoryn ehdoksi.

Mitallisuus säilyy komplementoinnissa ja numeroituvissa yhdisteissä. Lisäksi tyhjä joukko on riippumatta ulkomitasta aina mitallinen. Näin ollen itse asiassa mielivaltaisen ulkomitan suhteen mitalliset joukot muodostavat sigma-algebran. Tälle perheelle käytetään joissain lähteissä merkintää

missä X ilmaisee perusjoukon ja joukossa annetun ulkomitan.

Ulkomitan ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos ovat -mitallisia joukkoja, niin

.

Jos ovat -mitallisia joukkoja ja , niin

.

Jos joukot , , ovat -mitallisia ja erillisiä, niin

.

Viimeisimmästä ominaisuudesta seuraa

Carathéodoryn lause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Carathéodoryn lause lause sanoo, että jos on ulkomitta, niin sen rajoittuma -mitallisiin joukkoihin eli funktio on mitta X:ssä.

Erityisiä ulkomittoja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Ulkomittaa sanotaan täydelliseksi jos ja vain jos jokaisen nollamittaisen joukon osajoukko on mitallinen tämän ulkomitan suhteen. Voidaan osoittaa, että jokainen ulkomitta voidaan täydellistää täydelliseksi ulkomitaksi.
  • Ulkomitta on säännöllinen jos ja vain jos jokaisella on olemassa -mitallinen joukko s.e. ja . Jos vielä , niin voidaan osoittaa, että säännöllisellä ulkomitalla edellä mainittu mitallisuuskriteeri suppenee muotoon: joukko on -mitallinen jos ja vain jos
    .
  • Jos on metrinen avaruus, niin joukon X ulkomittaa sanotaan metriseksi jos ja vain jos ehdosta
    seuraa ominaisuus
    kaikilla . Metriset mitat karakterisoivat Borel-ulkomitat. Voidaan osoittaa, että ulkomitta on metrinen jos ja vain jos se on Borel.

Tärkeimpiä esimerkkejä säännöllisistä metrisistä ulkomitoista ovat mm. Hausdorffin mitan ja Lebesguen mitan konstruktioissa esiintyvät ulkomitat.

Funktion mitallisuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos on ulkomitta joukossa X ja , niin funktio on -mitallinen jos ja vain jos avointen joukkojen alkukuvat kuvauksessa f ovat -mitallisia. Toisin sanoen joukot , ja ovat -mitallisia kaikilla avoimilla joukoilla .

Funktion mitallisuus voidaan myös karakterisoida seuraavasti: funktio f on -mitallinen jos ja vain jos joukko

on -mitallinen kaikilla .

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. Opintomoniste 15. Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7.