Carathéodoryn konstruktio

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Carathéodoryn konstruktio on tapa luoda metrisiin avaruuksiin Borel-mittoja eräänlaisten esimittojen avulla. Menetelmän kehitti kreikkalainen matemaatikko Constantin Carathéodory vuonna 1914.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon metrinen avaruus. Olkoon kokoelma :n osajoukkoja ja kuvaus (ns. esimitta). Näiltä oletetaan seuraavat kaksi ehtoa:

(1) Jokaiselle on olemassa joukot , , I on numeroituva siten, että

ja .

(2) Jokaiselle on olemassa joukko siten, että

ja .

Olkoon nyt kiinteä. Määritellään, että joukon -peite on mikä tahansa numeroituva osakokoelma , jolla on seuraavat ominaisuudet:

- kokoelma on joukon A peite, eli pätee ,

- läpimitta jokaisella .

Määritellään nyt funktio

.

Edellä annettu ehto (1) takaa -peitteen olemassaolon myös joukolle X, joten kuvaus on hyvinmääritelty funktio. Voidaan osoittaa, että funktio on ulkomitta X:ssä. Nimittäin edellä annettu ehto (2) takaa sen, että ja muiden ehtojen todistaminen käy konstruktion vuoksi hyvin samalla tavalla kuin Lebesguen ulkomitan osoittaminen ulkomitaksi.

Huomataan, että jos , niin kaikilla . Toisin sanoen kuvaus on kasvava :aa pienennettäessä. Näin ollen kaikilla on olemassa raja-arvo . Määrittelemmekin nyt siis funktion

.

Koska funktiot ovat ulkomittoja X:ssä, niin voidaan helposti osoittaa, että funktio on ulkomitta X:ssä. Mittateoriassa osoitetaan, että funktio rajoitettuna -mitallisiin joukkoihin on Borel-mitta. Lisäksi jos kaikki joukkokokoelman jäsenet ovat Borel-joukkoja, niin voidaan osoittaa, että on itse asiassa Borel-säännöllinen.

Sovelluksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Carathéodoryn konstruktio tuottaa esimerkiksi Hausdorffin ulkomitan. Jos valitsemme määritelmässä joukkoperheeksi kaikkien X:n osajoukkojen muodostaman kokoelman ja asetamme funktion kaavaksi , , niin saatu funktio ja siis .

Lisäksi voimme saada Carathéodoryn konstruktiolla ns. integraaligeometriset mitat avaruuteen . Olkoon luonnollinen luku, jolla . Asetetaan kokoelmaksi :n Borelin perhe . Määritellään parametrille esimitta ,

ja

,

missä

(ns. Grassmannin avaruus)

ja jokaiselle kuvaus on ortogonaalinen projektio aliavaruudelle . Annetuissa integraaleissa integroidaan yli Grassmannin avaruuden varustettuna rotaatioinvariantilla mitalla .

Näillä esimitoilla saatuja Borelin mittoja , joita merkitään symboleilla , kutsutaan (m-ulotteisiksi) integraaligeometrisiksi mitoiksi parametrilla t.