Beta-jakauma
Tiheysfunktio
|
Kertymäfunktio
|
Merkintä
|
|
Parametrit
|
|
Määrittelyjoukko
|
|
Tiheysfunktio
|
|
Kertymäfunktio
|
|
Odotusarvo
|
|
Moodi
|
|
Varianssi
|
|
Vinous
|
|
Huipukkuus
|
|
Entropia
|
|
Momentit generoiva funktio
|
|
Karakteristinen funktio
|
(katso hypergeometrinen funktio)
|
Fisherin informaatiomatriisi
|
|
Beta-jakauma[1] eli
jakauma[2] on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma, jota käytetään bayesilaisessa todennäköisyyslaskennassa. Koska Beta-jakaumaa voi parametrisoida monella eri tavalla, sitä voidaan kutsua jakaumaperheeksi. Sen avulla voidaan esittää lähes kaikki äärelliselle välille konsentroituneet jakaumat.[1][2]
Jos satunnaismuuttuja
on Beta-jakautunut parametreillä
ja
, merkitään se yleensä
[1]

Satunnaismuuttujalla
, joka on Beta-jakautunut ja jolla perusjoukko on
[0,1], on kaksi positiivista parametria
ja
. Niiden avulla Beta-jakauman tiheysfunktio määritellään
[1]
missä niin sanottu beta-funktio on
[1]
jossa
taas on gammafunktio. Beta-funktion tarkoituksena on "normalisoida" beta-jakauma niin, että sen tiheysfunktion määrätty integraali koko reaalialueen yli on tasan yksi.[3]
Toisinaan joskus parametrien arvoista vähennetään yksi (
ja
), jotta tiheysfunktion ja momenttifunktion kaavat yksinkertaistuisivat hieman.[4]
Beta-jakauman tiheysfunktiolla on seuraavanlaisia ominaisuuksia:[1]
kaikilla ![{\displaystyle x\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a15936df283add394ab909aa7a5e24e7fb6bb2)
- Jos
ja
, niin
on aidosti kasvava ja sen maksimikohta on välin päätepisteessä 
- Jos
ja
, niin
on aidosti vähenevä ja sen maksimikohta on välin päätepisteessä 
- Jos
ja
, niin
on yksihuippuinen ja sen maksimikohta on välin sisäpisteessä 
- Jos
ja
, niin
on U:n muotoinen ja sillä on lokaalit maksimikohdat on välin päätepisteissä
ja 
on symmetrinen, jos 
Beta-jakauman kertymäfunktion lauseketta ei ole mahdollista kirjoittaa eksplisiittiseen muotoon, koska sen tiheysfunktion integraalifunktiota ei voi kirjoittaa lausekkeeksi alkeisfunktioiden avulla. Ne onkin tapana esittää vain numeerisessa muodossa aivan kuten toimitaan normaalijakaumassakin.[1]
Momenttifunktio eli momentit generoiva funktio saadaan määritelmästä

Sen avulla voidaan määritellä origomomentit ja keskusmomentit. Origomomenttien yleinen muoto on
[4]
ja koska gammafunktiolla on
, siitä saadaan ensimmäiset momentit

ja

Keskusmomenttien yleinen muoto on

missä
on hypergeometrinen funktio.[4]
Ensimmäinen origomomentti voidaan laskea myös suoraan

[1]
Jakauman odotusarvo saadaan ensimmäisestä origomomentista
[4]
Sen varianssi on taas suoraan toinen keskusmomentti
[3][4]
Jakauman tiheysfunktion vinous määritetään kahden keskumomentin avulla
[3][5][4]
Vinous on nolla, mikä näkyy tasajakauman tiheysfunktion kuvaajasta, joka on täysin symmetrinen.
Jakauman huipukkuus määritetään kahden keskusmomentin avulla
[3][6][4]
Negativinen huipukkuus näkyy tiheysfunktion kuvaajassa siten, että kuvaaja on "tasa- ja litteäpäinen" eikä terävää kärkeä esiinny ollenkaan.
Jakauman moodi sijaitsee välin [0,1] sisäpisteessä, kun
ja

Jos
tai
voi moodi sijaita välin päätepisteessä. Kun
on jakauma tasajakauma ja kaikki pisteet ovat moodi.[3]
Tarkastellaan toistokoetta, jonka yksittäisen kolikonheiton arvoksi voi tulla vain "kruuna" tai "klaava" todennäköisyyksillä
ja
. Heittojen kokonaismäärän ollessa
, noudattaa saatujen kruunujen yhteismäärät
binomijakaumaa
. Jos halutaan selvittää "kruunan" todennäköisyyttä
, kun saadaan
"kruunaa", on se Beta-jakautunut
.[7]
Edellinen ongelma on perinteisesti ratkaistu käyttäen normaalijakaumaa, mutta Beta-jakauma antaa silloin oikean tuloksen, kun se määritellään

Normaalijakauma antaa harhaisen tuloksen, mikäli toistojen lukumäärä
on pieni ja suhde
on lähellä arvoa 0 tai 1.[7]
Beta-jakaumaa tulisi käyttää normaalijakauman sijasta approksimoitaessa binomijakaumaa epäsymmetrisissä tiheysjakauman tilanteissa. Esimerkiksi epäsymmetrisessä ja kahta arvoa antavassa satunnaistapauhtumassa kannattaa käyttää diskreetin binomijakauman approksimoimiseksi jatkuvaa Beetta-jakaumaa. Yleensä binomijakaumaa approksimoidaan normaalijakaumalla, mutta se ei toimi kunnolla, kun toista arvoa esiintyy tuntuvasti enemmän kuin toista.[7]
Beta-jakaumaa voidaan käyttää arvioitaessa tasajakaumien
arvoja. Arvotaan n satunnaismuuttujalle
arvot
. Arvot lajitellaan suuruusjärjestykseen, jolloin arvo merkitään uudella tavalla
kun se on järjestyksessä i:nnes. (eli
<
< ... <
). Silloin arvo
kun
.[8]
Beta-jakaumasta saadaan tasajakauma, mikäli parametrit ovat molemmat yksi
[2]
- ↑ a b c d e f g h Mellin, Ilkka: Todennäköisyysjakaumat, s. 407−410, luentomonisteesta Todennäköisyyslaskenta, Aalto-yliopisto, 2006
- ↑ a b c Rahiala, Markku: Satunnaismallien teoria (Arkistoitu – Internet Archive), s. 21−22, Oulun yliopisto, 2002
- ↑ a b c d e Johnson, Paul & Beverlin, Matt: Beta Distribution, 2013
- ↑ a b c d e f g Weisstein, Eric W.: Beta Distribution (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
- ↑ Weisstein, Eric W.: Skewness (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
- ↑ Weisstein, Eric W.: Kurtosis (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
- ↑ a b c Stich, Slater: Use the Beta Distribution
- ↑ Laurent, Stéphane: The Beta distribution also appears as an order statistic...
Diskreettejä jakaumia
|
|
Jatkuvia jakaumia
|
|
Moniulotteisia jakaumia
|
|