Poissonin jakauma

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Poissonin jakauma
Todennäköisyysfunktio
Poissonin jakauman todennäköisyysfunktio
Vaaka-akselilla on indeksi k eli tapahtumien lukumäärä. Todennäköisyysfunktio on määritelty vain indeksin k kokonaislukuarvoilla. Hahmottamisen helpottamiseksi pisteet on yhdistetty viivoilla
Kertymäfunktio
Poissonin jakauman kertymäfunktio
Vaaka-akselilla on indeksi k eli tapahtumien lukumäärä. Kertymäfunktio on epäjatkuva kokonaisluvuilla k ja muualla vaakasuora, koska Poisson-jakautunut muuttuja saa vain kokonaislukuarvoja.
Merkintä
Parametrit λ > 0 (reaalinen)
Määrittelyjoukko k ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }
Pistetodennäköisyysfunktio
Kertymäfunktio --tai--

(kun missä on epätäydellinen gammafunktio ja on lattiafunktio)

Odotusarvo
Mediaani
Moodi
Varianssi
Vinous
Huipukkuus
Entropia

(kun on suuri)
                   

Momentit generoiva funktio
Karakteristinen funktio
Todennäköisyydet generoiva funktio

Poissonin jakauma (tai Poisson-jakauma) on toden­näköisyys­laskennassa ja tilastotieteessä diskreetin satunnais­muuttujan todennäköisyysjakauma, joka ilmaisee todennäköisyydet tapahtumien lukumäärälle kiinteällä aikavälillä, kun tapahtumien todennäköisyys on ajassa vakio ja riippumaton edellisestä tapahtumasta. Poissonin jakauman tuottavaa stokastista prosessia kutsutaan Poisson-prosessiksi.

Jakauma on peräisin ranskalaiselta matemaattisen fysiikan tutkijalta Siméon Denis Poissonilta (1781-1840). Tutkiessaan todennäköisyyslaskennassa toistokoetta hän päätyi jakaumaansa antamalla toistojen määrän kasvaa rajatta ja kytkemällä tarkasteltavan tapauksen todennäköisyyden yksittäisessä toistossa toistojen määrään siten, että määrän ja todennäköisyyden tulo pysyivät koko ajan vakiona. Jakaumaa nimitetään usein myös Poissonin suurten lukujen laiksi.

Poissonin jakauma on diskreetti, ja sen arvojoukko on luonnollisten lukujen joukko. Jos satunnaismuuttuja on Poisson-jakautunut, merkitään

.

Parametri on Poisson-prosessin intensiteetti. Pistetodennäköisyysfunktio on

Kertymäfunktiota ei voi yleisessä tapauksessa esittää suljetussa muodossa. Odotusarvo ja varianssi ovat

ja

Jos ja sekä ja ovat riippumattomia, niin .

Poissonin jakauman yhteydet binomijakaumaan ja negatiiviseen binomijakaumaan:

jos kun , niin jakaumaltaan.
jos kun , niin jakaumaltaan.

Painotettu Poissonin jakauma on Poissonin jakauma, jonka parametri on satunnaismuuttuja. Parametrin voi tulkita esimerkiksi kuvaavan sään vaihteluita, jos Poisson-jakautunut satunnaismuuttuja kuvaa päivässä tapahtuvia liikennevahinkoja.

Oletetaan, että satunnaismuuttuja toteuttaa ehdot ja ja . Satunnaismuuttujaa kutsutaan tällöin struktuurimuuttujaksi. Odotusarvo ja varianssi ovat

ja

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Commons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Poissonin jakauma.