Planckin yksiköt

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Planckin yksiköt on Max Planckin esittämä luonnollinen yksikköjärjestelmä, joka perustuu viiteen seuraavassa taulukossa olevaan luonnonvakioon.

Vakio Symboli Dimensio Suuruus SI-yksikköinä
valonnopeus tyhjiössä { c } \ L T −1 299 792 458 m/s
gravitaatiovakio { G } \ M−1L3T −2 6,67428 · 10-11 m3 kg−1 s−2
Diracin vakio tai "redusoitu Planckin vakio" \hbar=\frac{h}{2 \pi} missä {h} \ Planckin vakio ML2T −1 1,054571628 · 10-34 Js
Coulombin vakio  \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} missä { \epsilon_0 } \ on tyhjiön permittiivisyys Q−2 M L3 T −2 8,9875517873681764 · 109 kg m3 s−2 C−2
Boltzmannin vakio { k } \ ML2T −2Θ−1 1,3806504(24) · 10-23 J/K

Kaikki nämä liittyvät suoranaisesti fysiikan perusteorioihin: c suhteellisuusteoriaan, G Newtonin gravitaatioteoriaan ja yleiseen suhteellisuus­teoriaan, ħ kvanttimekaniikkaan, ε0 sähköstatiikkaan ja kB statistiseen mekaniikkaan ja termodynamiikkaan. Teoreettisessa fysiikassa Planckin yksiköillä on syvällinen merkitys, sillä niiden avulla fysiikan lakeja esittävät yhtälöt voidaan esittää yksin­kertaisimmassa mahdollisessa muodoissa. Erityisen suuri merkitys niillä on kehiteltäessä yhtenäis­teorioita kuten kvanttigravitaation teoriaa.

Luonnollisten yksiköiden avulla eräät fysiikan perus­kysymykset on myös voitu muotoilla uudelleen. Frank Wilczek on ilmaissut asian näin:

»..Näemme, ettei kysymys ole, miksi gravitaatio on niin heikko, vaan pikemminkin: "Miksi protonin massa on niin pieni?". Luonnollisten (Planckin) yksiköiden kannalta gravitaation voimakkuus yksin­kertaisesti on mikä on, perus­yksikkö, kun taas protonin massa on hyvin pieni luku, (1/13 triljoonasosaa]...[1].[2]»

Gravitaation voimakkuus on yksin­kertaisesti se mikä on ja sähkö­magneettisen voiman se mikä se on. Sähkö­magneettinen voima liittyy toiseen fysikaaliseen suureeseen, sähkövaraukseen, kuin gravitaatio, joka liittyy massaan, joten niitä ei voi suoraan verrata keskenään. Jos sanotaan, että gravitaatio on äärimmäisen heikko voima, tämä on Planckin yksiköiden näkö­kannalta kuin omenoiden vertaamista appelsiineihin. On totta, että vapaassa tilassa kahden yksinäisen protonin välinen sähkö­staattinen poisto­voima on paljon suurempi kuin samojen protonien välinen vetävä gravitaatio­voima, mutta tämä johtuu siitä, että protonien varaus on melko lähellä Planckin varausta, kun taas protonin massa on paljon pienempi kuin Planckin massa.

Perusyksiköt[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kaikkiin mittajärjestelmiin liittyy joitakin perus­yksiköitä, esimerkiksi SI-järjestelmässä pituuden perusyksikkö on metri. Planckin järjestelmän mukaista pituuden perus­yksikköä sanotaan Planckin pituudeksi, aika­yksikköä Planckin ajaksi ja niin edelleen. Kaikki nämä voidaan ilmaista edellä lueteltujen vakioiden avulla, ja niiden arvot ovat seuraavat:

Perussuureiden Planckin yksiköt
Suure Yksikkö Lauseke perusvakioiden avulla Suuruus SI-järjestelmän yksikköinä ja sen epätarkkuus[3]
Pituus Planckin pituus l_{P}= \sqrt{\frac{G\hbar}{c^3}}\; 1,616252(81) · 10-35 m
Aika Planckin aika t_{P} = \frac{l_{P}}{c} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}}\; 5,39124(27) · 10-44 s
Massa Planckin massa m_{P} = \sqrt{c \hbar /G}\; 2,17644(11) · 10-8 kg (21,7644 μg)
Sähkövaraus Planckin varaus q_{P} = \sqrt{c \hbar 4 \pi \epsilon_0 }\; 1,875545870(47) · 10-18 C
Lämpötila Planckin lämpötila T_{P} = \frac{m_{P} c^2}{k} = \frac{\sqrt{c^5 \frac{\hbar}{G}}}{k} 1,415 · 1032 K

Johdannaisyksiköt[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Perusyksiköistä voidaan johtaa yksiköt myös johdannaissuureille. Muutamien johdannais­suureiden yksiköiksi saadaan Planckin järjestelmässä jokin edellä luetelluista perus­vakioista.

Johdannaissuureiden yksiköitä ovat esimerkiksi seuraavat:

Suure Yksikkö Lauseke Suuruus SI-yksikköinä
Pinta-ala Planckin pinta-ala A_{P}= l_P^2 =\frac{G\hbar}{c^3}\; 2,61227 · 10-70 m2
Tilavuus Planckin tilavuus  l_P^3 = \left( \frac{\hbar G}{c^3} \right)^{\frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{(\hbar G)^3}{c^9}} 4,22419 · 10-105 m3
Tiheys Planckin tiheys \rho_P = \frac{m_P}{l_P^3} = \frac{c^5}{\hbar G^2}\; 5,1 · 1096 kg/m3
Nopeus Valonnopeus c 299 792 458 m/s
Liikemäärä Planckin liikemäärä m_P c = \frac{\hbar}{l_P} = \sqrt{\frac{\hbar c^3}{G}} 6,52485 Ns
Pyörimismäärä, impulssimomentti Redusoitu Planckin vakio \hbar 1,054571628 · 10-34 Js
Voima Planckin voima F_P = \frac{m_P l_P}{t_P^2} = \frac{c^4}{G}\; 1,210 · 1044 N
Paine Planckin paine p_P = \frac{F_P}{l_P^2} = \frac{c^{7}}{\hbar G^2}\; 4,635 · 10113 P
Energia Planckin energia E_P = F_P l_P = c^2\sqrt{\frac{c \hbar}{G}} 1,956 · 109 J
Teho Planckin teho P_P = \frac{E_P}{t_P} = \frac{c^5}{G}\; 3,629 · 1052 W
Sähkövirta Planckin sähkövirta I_P = \frac{q_P}{t_P} = \sqrt{\frac{c^6 4 \pi \epsilon_0}{G}}\; 3,479 · 1025 A
Jännite Planckin jännite V_P = \frac{E_P}{q_P} = \sqrt{\frac{c^4}{G 4 \pi \epsilon_0}}\; 1,0432 · 1027 V
Resistanssi, impedanssi Planckin impedanssi Z_P = \frac{V_P}{I_P} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 c} = \frac{Z_0}{4 \pi}\; 29,979 245 8 Ω
Lämpökapasiteetti ja entropia Boltzmannin vakio k 1,3806504(24) · 10-23 J/K

Planckin yksiköt ja fysiikan perusyhtälöt[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Eri dimensiota olevia fysikaalisia suureita, kuten pituutta ja aikaa, ei voida suoraan verrata toisiaan. Teoreettisessa fysiikassa käytetään kuitenkin usein nondimensionalisaatioksi nimitettyä menetelmää, jolla eri suureet saadaan vertailu­kelpoisiksi ja joka perustuu oleellisesti Planckin yksikköihin. Alla oleva taulukko osoittaa, miten Planckin järjestelmä yksin­kertaistaa monia fysiikan perus­yhtälöitä verrattuna niiden tavan­omaisiin, esi­merkiksi SI-yksiköissä esitettäviin muotoihin.

Planckin yksiköillä yksinkertaistettuja fysiikan yhtälöitä
Tavanomainen muoto Nondimensionalisoitu muoto
Newtonin gravitaatiolaki  F = - G \frac{m_1 m_2}{r^2}  F = - \frac{m_1 m_2}{r^2}
Einsteinin kenttäyhtälöt yleisessä suhteellisuusteoriassa { G_{\mu \nu} = 8 \pi {G \over c^4} T_{\mu \nu} } \ { G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu} } \
Massan ja energian ekvivalenssi suppeassa suhteellisuusteoriassa { E = m c^2} \ { E = m } \
Lämpöenergia hiukkasta ja vapausastetta kohti { E = \frac{k_B T}{2}} \ { E = \frac{T}{2}} \
Boltzmannin lauseke entropialle { S = k_B \ln \Omega } \ { S = \ln \Omega } \
Planckin relaatio energian ja kulmataajuuden välillä { E = \hbar \omega } \ { E = \omega } \
Mustan kappaleen säteilyä koskeva Planckin laki  I(\omega,T) = \frac{\hbar \omega^3 }{4 \pi^3 c^2}~\frac{1}{e^{\frac{\hbar \omega}{k_B T}}-1}  I(\omega,T) = \frac{\omega^3 }{4 \pi^3}~\frac{1}{e^{\omega/T}-1}
Stefanin-Boltzmannin vakio σ (määritelmä)  \sigma =  \frac{\pi^2 k_B^4}{60 \hbar^3 c^2} \ \sigma = \pi^2/60
BekensteininHawkingin lauseke mustan aukon entropialle[4] S_{BH} = \frac{A_{BH} k_B c^3}{4 G \hbar} = \frac{4\pi G k_B m^2_{BH}}{\hbar c} S_{BH} = A_{BH}/4 = 4\pi m^2_{BH}
Schrödingerin yhtälö 
- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) = i \hbar \dot{\psi}(\mathbf{r}, t) 
- \frac{1}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) = i \dot{\psi}(\mathbf{r}, t)
Schrödingerin yhtälö Hamiltonin operaattorin avulla  H \left| \psi_t \right\rangle = i \hbar \partial \left| \psi_t \right\rangle/\partial t  H \left| \psi_t \right\rangle = i \partial \left| \psi_t \right\rangle/\partial t
Diracin yhtälön kovariantti muoto \ ( \hbar \gamma^\mu \partial_\mu - imc) \psi = 0 \ ( \gamma^\mu \partial_\mu - im) \psi = 0
Coulombin laki  F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}  F = \frac{q_1 q_2}{r^2}
Maxwellin yhtälöt \nabla \cdot \mathbf{E} = \rho / \epsilon_0

\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}
\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}

\nabla \cdot \mathbf{E} = 4 \pi \rho \

\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}
\nabla \times \mathbf{B} = 4 \pi \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}

Suuruusluokat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vain muutamat Planckin yksiköt vastaavat suuruudeltaan joitakin arkielämästäkin tuttuja vastaavien suureiden arvoja. Tällaisia ovat:

Lisäksi Planckin varaus on noin 11 kertaa alkeisvarauksen suuruinen (tarkemmin 11,707 alkeis­varausta, mikä luku on sama kuin atomi­fysiikassa tärkeän hienorakennevakion neliö­juuren käänteisluku.)

Suurin osa Planckin yksiköistä kuitenkin on useita suuruusluokkia liian suuria tai liian pieniä mihinkään käytännön tarkoituksiin, minkä vuoksi Planckin järjestelmä soveltuu käytettäväksi ainoastaan teoreettisessa fysiikassa. Itse asiassa monien suureiden Planckin yksiköt vastaavat kyseisen suureen pienintä tai suurinta mahdollista tai nykyisen fysiikan mukaan mielekästä määrää. Esimerkiksi:

  • Nopeuden Planckin yksikkö on valonnopeus, joka suhteellisuusteorian mukaan on suurin mahdollinen signaalinopeus [5]
  • Nykyiset kosmologiset teoriat voivat kuvata vain sitä, mikä tapahtui Planckin epookin jälkeen, jolloin maailmankaikkeus oli yhden Planckin ajan ikäinen ja läpi­mitaltaan Planckin pituuden kokoinen ja sen lämpötila oli Planckin lämpötila. Sen tutkiminen, mitä tätä ennen tapahtui, edellyttäisi kvanttigravitaatiota koskevaa teoriaa, joka yhdistäisi kvanttiteorian ja yleisen suhteellisuus­teorian, mutta sellaista teoriaa ei vielä ole.
  • Planckin lämpötilassa kaikki fysiikan tuntemat symmetriat rikkoutuisivat ja kaikki perus­vuoro­vaikutukset yhdistyisivät yhdeksi voimaksi.

Nykyisen maailman­kaikkeuden koko Planckin yksiköissä on erittäin suuri, kuten seuraava taulukko osoittaa:

Nykyinen maailmankaikkeus Planckin yksiköissä.
Ominaisuus Likimääräinen lukuarvo
Planckin yksiköissä
SI-yksiköissä
Ikä 8,0 · 1060 tP 4,3 · 1017 s
Näkyvän maailmankaikkeuden läpimitta 5.4 · 1061 lP 8.7 · 1026 m
Näkyvän maailmankaikkeuden massa noin 1060 mP 3 · 1052 kg (vain tähdet luettuina)
(1080 protonia, mitä joskus sanotaan Eddingtonin luvuksi)
Kosmisen taustasäteilyn lämpötila 1,9 · 10−32 TP 2,725 K

Se seikka, että näistä luvuista monet ovat lähellä samaa suuruusluokkaa 1060, on mahdollisesti pelkkä yhteen­sattuma mutta on myös antanut muutamille teoreetikoille kuten Paul Diracille ja Arthur Stanley Eddingtonille aiheen kehitellä vaihto­ehtoisia fysikaalisia teorioita. Tällaiset teoriat tunnetaan Diracin suurten lukujen hypoteesin nimellä, mutta valtaosa fyysikoita on hylännyt ne nimittäen niitä vähättelevästi numerologiaksi.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. http://www.physicstoday.org/pt/vol-54/iss-6/p12.html June 2001 Physics Today]
  2. Alkutekstissä 1/13 quintillions, missä quintillion vastaa Yhdys­valloissa käytetyn lyhyen asteikon mukaisesti eurooppalaista triljoonaa
  3. Fundamental Physical Constants from NIST
  4. Also see Roger Penrose (1989) The Road to Reality. Oxford Univ. Press: 714-17. Knopf.
  5. (1963) "The Special Theory of Relativity", The Feynman Lectures on Physics 1 "Mainly mechanics, radiation, and heat". Addison-Wesley, 15–9. LCCN. ISBN 0738200085. 

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]