Schrödingerin yhtälö

Wikipedia

Schrödingerin yhtälö kuvaa kvanttimekaanisten systeemien aikariippuvuuksia. Schrödingerin yhtälöllä on olennaisen tärkeä osa kvanttimekaniikan teoriassa, jossa se vastaa merkitykseltään Newtonin toista lakia klassisessa mekaniikassa, sillä kummatkin kuvaavat liikettä. Yhtälön kehitti itävaltalainen fyysikko Erwin Schrödinger vuonna 1926.^[1]

Sisällysluettelo

1 Yleinen Schrödingerin yhtälö
- 1.1 Bra-ket -esitys
- 1.2 Schrödingerin yhtälön muuttujat
2 Ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö
- 2.1 Potentiaalilaatikko
  - 2.1.1 Yksiulotteinen laatikko
  - 2.1.2 Kolmiulotteinen laatikko
- 2.2 Ominaisarvoyhtälö
3 Schrödingerin aaltoyhtälö
4 Lähteet

[muokkaa] Yleinen Schrödingerin yhtälö

Yleinen Schrödingerin yhtälö voidaan esittää muodossa^[2]

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\vec{x},t) = \hat{H}\Psi(\vec{x},t)$ ,

missä siis $\scriptstyle \Psi(\vec{x},t)$ on paikasta $\scriptstyle \vec{x}$ ja ajasta $\scriptstyle t$ riippuva aaltofunktio, $\scriptstyle \hbar$ muunnettu Planckin vakio, $\scriptstyle \hat{H}$ Hamiltonin operaattori ja $\scriptstyle i$ imaginaariyksikkö.

[muokkaa] Bra-ket -esitys

Kvanttimekaniikan matemaattisessa formuloinnissa jokainen systeemi esitetään kompleksisessa Hilbertin avaruudessa siten, että jokaista systeemin hetkellistä tilaa vastaa yksikkövektori ko.avaruudessa. Tämä tilavektori esittää todennäköisyyksiä kaikille mahdollisille systeemiin liitettyjen mittausten tuloksille. Systeemin tilan muuttuessa ajan kuluessa, muuttuu tilavektori vastaavasti ajan funktiona. Tämä ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö antaa tiedon tilavektorin muutostaajuuden suuruudesta.

Diracin kehittelemää bra-ket -merkintätapaa käyttäen hetkellinen tilavektori ajanhetkellä $\scriptstyle t$ merkitään ket-vektorilla $\scriptstyle \left| \psi (t) \right\rangle$ , tällöin Schrödingerin yhtälö on muotoa

$H(t) \left| \psi (t) \right\rangle = \mathrm{i} \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle$ .

[muokkaa] Schrödingerin yhtälön muuttujat

Hamiltonin operaattori kuvaa systeemin kokonaisenergiaa. Kuten voima Newtonin toisessa laissa, Schrödingerin yhtälö ei anna sen tarkkaa muotoa, vaan se pitää muodostaa erikseen systeemin fysikaalisten ominaisuuksien perusteella.

Aaltofunktion $ψ$ amplitudia sanotaan todennäköisyysamplitudiksi, koska sen neliö osoittaa todennäköisyyden sille, että hiukkanen on tietyllä alueella.

[muokkaa] Ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö

Monissa tarkasteluissa oletetaan stationäärinen tila, mikä tarkoittaa, että systeemin energiajakauma ei muutu ajan $\scriptstyle t$ funktiona. Energia jakautuu kuitenkin paikan $\scriptstyle r$ funktiona. Voidaan määrittää yksikäsitteinen paikasta riippuva funktio $\scriptstyle U(r)$ , jota sanotaan potentiaalifunktioksi.

Kolmiulotteisessa potentiaalissa hiukkasen ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö on muotoa^[3]

$\Big[ \frac{-\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\vec{r}) \Big] \Psi(\vec{r}) = E \Psi(\vec{r})$ ,

missä $\scriptstyle \nabla$ on gradientti. Yhtälö voidaan kirjoittaa myös muodossa

$\hat{H}\Psi(\vec{r}) = E\Psi(\vec{r})$ .

[muokkaa] Potentiaalilaatikko

Potentiaalifunktio on määritelty nollaksi tietyllä välillä ja äärettömäksi tämän välin ulkopuolella, seinämät ovat ikään kuin pystysuoria. Klassillisesti hiukkanen liikkuu kahden jäykän seinämän välissä.

[muokkaa] Yksiulotteinen laatikko

Kun hiukkanen, jonka massa on $\scriptstyle m$ , liikkuu yksidimensionaalisen potentiaalin $\scriptstyle U(x)$ alaisena, niin hiukkasen tilafunktio $\scriptstyle \psi\left({x}\right)$ toteuttaa yksidimensioisen Schrödingerin yhtälön:

$-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi (x)}{dx^2} + U(x) \psi (x) = E \psi(x).$

Tämä differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista eksaktisti vain muutamassa erikoistapauksessa. Klassillinen esimerkki on hiukkanen laatikossa (particle in a box). Energian ominaisarvot muodostavat spektrin:

$\ E_1$ , $\ 4 E_1$ , $\ 9 E_1$ , $\ 16 E_1$ jne ...

missä $\scriptstyle E_1$ on perustilaenergia, energia, jota pienempää ei ole. Nollaenergia ei ole sallittu, koska kvanttihiukkanen ei ole levossa.

[muokkaa] Kolmiulotteinen laatikko

Vastaava kolmidimensioinen yhtälö on muotoa:

$[-\frac{\hbar^2}{2 m} \nabla^2 + U(r)] \psi (r) = E \psi (r).$

Koska kyseessä on kolmiulotteinen tapaus, gradientti on $\scriptstyle \nabla = \frac{\partial}{\partial x} \hat{x} + \frac{\partial}{\partial y} \hat{y} + \frac{\partial}{\partial z} \hat{z}$ .

Tämä differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista eksaktisti kolmidimensioisessa laatikossa, jossa hiukkasen liike on rajattu tietylle välille kaikkien koordinaattiakselien suunnissa. Jos välit ovat keskenään yhtäsuria eli laatikko on kuutionmuotoinen, niin tällöin saadaan esimerkki degeneroituneista tiloista. Energian ominaisarvojen spektri on tällöin:

$\ 3 E_1$ , $\ 6 E_1$ , $\ 9 E_1$ , $\ 11 E_1$ , $\ 12 E_1$ jne ...

Perustilaenergia on $\scriptstyle 3 E_1$ ja tämä tila on degeneroitumaton, mutta kolmea seuraavaa ominaisarvoa vastaavien tilojen degeneraatioaste on kolme, mikä tarkoittaa, että yhtä ominaisarvoa kohti on olemassa kolme kokonaisenergialtaan yhtäsuurta, mutta eri tavalla jakautunutta tilaa. Ominaisarvoa $\scriptstyle 12 E_1$ vastaava tila on degeneroitumaton ja ominaisarvoa $\scriptstyle 14 E_1$ vastaavan tilan degeneraatioaste on kuusi.

[muokkaa] Ominaisarvoyhtälö

Jokaista ajasta riippumatonta Hamiltonin operaattoria $\ H$ kohti on olemassa kvanttitilojen $\left|\psi_n\right\rang$ eli energian ominaistilojen joukko sekä reaalilukujen $\ E_n$ eli energian ominaisarvojen joukko, jotka toteuttavat ominaisarvoyhtälön:

$H \left|\psi_n\left(x\right)\right\rang = E_n \left|\psi_n\left(x\right)\right\rang.$

Ominaistilan kokonaisenergia on definiitti ja sen arvo on Hamiltonin operaattorin ominaisarvo. Jokaista energian ominaisarvoa kohti voi olla olemassa (ei kuitenkaan välttämättä) useampia ns. degeneroituneita tiloja. Edellä esitettyä ominasarvoyhtälöä sanotaan ajasta riippumattomaksi Schrödingerin yhtälöksi. Hamiltonin operaattorin kaltaisilla itseadjungoituvilla operaattoreilla on ominaisuus, että niiden ominaisarvot ovat kaikissa tapauksissa reaalilukuja, mitä voidaan odottaakin, koska energia on fysikaalisesti havaittavissa oleva suure eli observaabeli.

Sijoittamalla ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö täydelliseen Schrödingerin yhtälöön, saadaan:

$\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t} \left| \psi_n \left(t\right) \right\rangle = E_n \left|\psi_n\left(t\right)\right\rang.$

Tämä yhtälö on helposti ratkaistavissa. Havaitaan, että energian ominaistiloja vastaavat tilavektorit vain kiertyvät kompleksitasossa norminsa säilyttäen

$\left| \psi \left(t\right) \right\rangle = \mathrm{e}^{-\mathrm{i} Et / \hbar} \left|\psi\left(0\right)\right\rang.$

Energian ominaistilat ovat käyttökelpoisia, koska niiden aikariippuvuus on yksinkertainen ja samoin ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö on käyttökelpoinen. Tarkasteluissa valitaan hetkellinen ominaistilojen joukko, jonka tilavektorit $\left\{\left|n\right\rang\right\}$ muodostavat tila-avaruuden kannan. Tällöin mikä tahansa tilavektori $\left|\psi\left(t\right)\right\rang$ voidaan esittää energian ominaistilojen lineeaariyhdistelynä:

Viimeisenä esitetty muoto edellyttää, että $\left|\psi\left(t\right)\right\rang$ on yksikkovektori. Sijoittamalla ensimmäinen muoto Schrödingerin yhtälöön muistaen, että kantavektorit ovat lineaarisesti riippumattomia, saadaan:

$\mathrm{i}\hbar \frac{\partial c_n}{\partial t} = E_n c_n\left(t\right).$

Tästä seuraa, että jos funktion $\left|\psi\left(t\right)\right\rang$ kehitelmä valitussa kannassa tunnetaan hetkellä $\ t = 0$ , niin funktion arvo millä tahansa myöhemmällä ajanhetkellä lasketaan yksikertaisesti lausekkeesta

$\left|\psi\left(t\right)\right\rang = \sum_n \mathrm{e}^{-\mathrm{i}E_nt/\hbar} c_n\left(0\right) \left|n\right\rang.$

[muokkaa] Schrödingerin aaltoyhtälö

Kvanttisysteemin tila-avaruus voidaan virittää paikkavektorikannassa. Tällöin Schrödingerin yhtälö muotoillaan kätevimmin aaltofunktion osittaisdifferentiaaliyhtälöksi. Aaltofunktio on paikan ja ajan kompleksiarvoinen funktio. Yhtälön muotoa sanotaan Schrödingerin aaltoyhtälöksi.

Paikkavektorikannan alkioita sanotaan paikan ominaistiloiksi.

[muokkaa] Lähteet

↑ Erwin Schrödinger - The Nobel Prize in Physics 1933 (html) (englanniksi)
↑ David J. Griffths: ”4.1”, Introduction to Quantum Mechanics, 2. painos, s. 131. Pearson, 2005. ISBN 0-13-191175-9. (englanniksi)
↑ A. C. Phillips: Introduction to Quantum Mechanics, s. 64. Wiley, 2003. ISBN 0-470-85323-9. (englanniksi)

[0] Erwin Schrödinger - The Nobel Prize in Physics 1933 (html) (englanniksi)

[1] David J. Griffths: ”4.1”, Introduction to Quantum Mechanics, 2. painos, s. 131. Pearson, 2005. ISBN 0-13-191175-9. (englanniksi)

[2] A. C. Phillips: Introduction to Quantum Mechanics, s. 64. Wiley, 2003. ISBN 0-470-85323-9. (englanniksi)

[1]

[2]

[3]

Schrödingerin yhtälö

Wikipedia

Sisällysluettelo

[muokkaa] Yleinen Schrödingerin yhtälö

[muokkaa] Bra-ket -esitys

[muokkaa] Schrödingerin yhtälön muuttujat

[muokkaa] Ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö

[muokkaa] Potentiaalilaatikko

[muokkaa] Yksiulotteinen laatikko

[muokkaa] Kolmiulotteinen laatikko

[muokkaa] Ominaisarvoyhtälö

[muokkaa] Schrödingerin aaltoyhtälö

[muokkaa] Lähteet

Näkymät

Henkilökohtaiset työkalut

Haku

Valikko

Osallistuminen

Työkalut

Muilla kielillä