Planckin laki

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Mustan kappaleen säteilyn spektri. f(x)dx \propto \frac{x^3 dx}{e^x - 1}

Planckin laki on sähkömagneettisen kvanttiteorian tärkeimpiä tuloksia. Lain keksi Max Planck tutkiessaan niin sanottua mustan kappaleen säteilyä. Planckin laki on askel eteenpäin Rayleigh-Jeansin laista, joka ei pystynyt selittämään mustan kappaleen säteilyä suurilla taajuuksilla, vaan johti ns. ultraviolettikatastrofin nimellä tunnettuun ilmiöön. Planckin laki antaa mustan kappaleen säteilyn energiatiheysjakauman \scriptstyle u(\nu) säteilyn taajuuden \scriptstyle\nu funktiona

u(\nu)d \nu = \frac{8 \pi h \nu^3}{c^3}\frac{1}{e^{h \nu / {kT}} - 1}d \nu,

missä h on Planckin vakio, c valonnopeus, k Boltzmannin vakio, sekä T mustan kappaleen absoluuttinen lämpötila.

Taustaa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Max Planck kehitteli tämän lain alun perin vuonna 1900 (julkaistu vuonna 1901) yrittäessään etsiä teoreettista perustelua kokeellisten tulosten pohjalta johdetuille säteilylaeille (mm. Wienin säteilylaki). Planck huomasi, että yllä mainittu funktio sopi dataan kaikilla aallonpituuksilla huomattavan hyvin.

Rayleigh'n-Jeansin lakia pidetään usein Planckin lähtökohtana, vaikka näin ei ollut: Rayleigh'n-Jeansin laki kehitettiin vasta Planckin esitettyä oma säteilylakinsa. Laki oli kuitenkin erikoisen merkittävä, sillä se perustui vahvaan teoreettiseen pohjaan siinä missä Planck oli joutunut toistaiseksi tyytymään joissain kohdissa "käsien heilutteluun". Rayleigh'n-Jeansin laissa oli kuitenkin ultraviolettikatastrofina tunnettu paha puute. Tämä osoitti termodynamiikan teoreettisen perustan olevan ongelmallinen. Ultraviolettikatastrofi oli peräisin klassisen fysiikan laskelmista, joissa säteilyn oletettiin olevan jatkuvaluonteista. Planck yritti kehittää paremman perusteorian, joka täydentäisi termodynamiikan. Hän laski, että uusi säteilylaki sopii kaikkiin spektroskooppisiin mittauksiin siinä tapauksessa, että kappaleen varautuneiden säteilijöiden eri moodien summa lasketaan olettamalla näiden säteilijöiden energian olevan suoraan verrannollinen taajuuteen.

E=h\nu

Vastoin yleistä luuloaselvennä Planck ei käsitellyt valon vaan aineen ja säteilyn välisen energiavaihdon kvantittumista - ja sitäkin vasta vuonna 1911 Einsteinin ja Lorenzin myötävaikutuksella. Se käy selväksi hänen alkuperäisestä kirjoituksessaan vuodelta 1901 ja tässä paperissa oleviin viittauksiin aikaisempaan työhönsä. Hänen kirjassaan ”Theory of Heat Radiation” (Lämpösäteilyn teoria) on myös selvästi esitetty Planckin vakion viittaavan sähköiseen värähtelijään (Hertzian oscillator). Kvantittumisen käsitteen kehittivät muut sellaiseksi, joka nykyisin tunnetaan kvanttimekaniikkana. Seuraavan askeleen tällä tiellä otti Albert Einstein, joka valosähköistä ilmiötä tutkittuaan ehdotti mallia ja yhtälöä, jossa valoa ei vain emittoitu (lähetetty) vaan myös absorboitiin (vastaanotettiin) paketteina tai fotoneina.

Planckin mustan kappaleen säteilylaista on johdettu nykyinen Stefan-Boltzmannin laki.

Planckin laki aallonpituuden funktiona[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

u(\lambda) = \frac{8 \pi h c}{\lambda^5}\frac{1}{e^{hc / {\lambda kT}} - 1}

Missä \lambda on säteilyn aallonpituus (m), c valonnopeus (m/s), h Planckin vakio (Js), k Boltzmannin vakio (J/K) ja T absoluuttinen lämpötila (K)

Planckin lain johtaminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Planckin lain johtaminen etenee samalla tavalla kuin Rayleigh-Jeansin lain johtaminen, mutta energia on kvantittunut. Tällä vältetään ultraviolettikatastrofi ja mustan kappaleen kokonaissäteilyteho on äärellinen.

Tarkastellaan vakiolämpötilan T alaisuudessa sähkömagneettisia aaltoja suljetussa kuutiossa, jonka sivun pituus on L. Kuutio toimii siis mustana kappaleena. SM aallot ovat vangittuja laatikkoon, joten ne muodostavat seisovia aaltoja sen sisällä. Sähkömagneettisilla aalloilla on sekä sähkö- että magneettikomponentit. Keskitytään sähkökomponenttiin.

Aaltoyhtälö sähkökomponentille E kolmessa ulottuvuudessa noudattaa: \nabla^2E = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2E}{\partial t^2}, missä c = aaltoliikkeen etenemisnopeus, tässä valonnopeus. Voimme ratkaista yhtälön separoimalla muuttujat x-, y-, ja z-suunnissa: E(x,y,z) = sin(k_x x)sin(k_y y)sin(k_z z). Huomattakoon, että eksplisiittinen aikariippuvuus on jätetty pois; voimme lisätä sen tosin takaisin myöhemmin, jos tarvitsemme.

Ratkaisua vastaa aaltovektori \mathbf{k} = (k_x, k_y, k_z) jolle on voimassa |\mathbf{k}|^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = \frac{\omega^2}{c^2}, missä \omega on aaltoliikkeen kulmataajuus.

Jokaisessa ulottuvuudessa sovitamme kokonaislukumäärän puolikkaita aallonpituuksia matkalle L: k_x = \frac{l \pi}{L}, k_y = \frac{m \pi}{L}, k_z = \frac{n \pi}{L}, missä l, m, ja n ovat kokonaislukuja. Tästä seuraa k^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2
= \frac{\pi^2}{L^2}(l^2 + m^2 + n^2) ja lopuksi \frac{\omega^2}{c^2} = \frac{\pi^2}{L^2}(l^2 + m^2 + n^2)
= \frac{\pi^2 p^2}{L^2}, missä p^2 = l^2 + m^2 + n^2.

Jokainen kombinaatio (l, m, n) on itsenäinen systeemin moodi.

Suurelle järjestelmälle voimme määrittää moodien määrän taajuusintervallille \nu -> \nu + d\nu laskemalla pisteiden määrän k-avaruudessa intervallilla k -> k + dk, joka vastaa intervallia \nu -> \nu + d\nu. Koska l, m, ja n ovat positiivisia kokonaislukuja, tarvitsee meidän tarkastella vain yhtä kahdeksasosaa p-säteisestä pallosta. p-säteisen ja dp-paksuisen pallomaisen pinnan tilavuus on 4 \pi p^2dp, joten moodien määrä oktantissa on dN(p) = N(p)dp
= \frac{1}{8}4 \pi p^2dp. Koska k = \pi p / L ja dk = \pi dp/L, saamme dN(p) = \frac{L^3}{2\pi^2}k^2dk. Koska L^3 = V, eli laatikon tilavuus ja k = 2 \pi \nu / c, voimme kirjoittaa lausekkeen seuraavaan muotoon: dN = \frac{V}{2 \pi^2}k^2dk
= \frac{V}{2 \pi^2}\frac{8 \pi^3 \nu^2}{c^3}d \nu
= \frac{4 \pi \nu^2 V}{c^3}d \nu

Sähkömagneettisille aalloille jokaista moodia (l, m, n) vastaa kaksi itsenäistä polarisaatiota, joten dN = \frac{8 \pi \nu^2 V}{c^3}d \nu ja yksikkötilavuutta kohti dN = \frac{8 \pi \nu^2}{c^3}d \nu.

Valosähköinen ilmiö osoitti, että valo koostuu kvanteista, fotoneista, joiden on energia E suhteessa säteilyn taajuuteen \nu kaavan  E = h \nu \,\! mukaisesti, missä h on Planckin vakio. Täten moodin energia ei voi ottaa mitä tahansa arvoa, vaan ainoastaan h \nu:n kerrannaisen. Moodin energia on tällöin E(\nu) = nh \nu, jossa yhdistämme n fotonia kyseessä olevaan moodiin.

Olkoot kaikki moodit (ja fotonit) termisessä tasapainossa (absoluuttisessa) lämpötilassa T. Ollakseen termisessä tasapainotilassa systeemin on voitava vaihtaa energiaa moodien kesken ja tämä tapahtuu hiukkasten kesken kappaleen seinissä tai sisällä. Voimme käyttää Boltzmannin jakaumaa määrittämään eri moodien olemassaoloa. Todennäköisyys p(n), että moodi n energialla En on energiallisesti olemassa on

p(n) = \frac{e^{-E_n/kT}}{\sum_{n=0}^{\infty}e^{-E_n/kT}}

Moodin, jonka taajuus on \nu keskienergia on siten

\bar{E_\nu} = \sum_{n=0}^{\infty}E_n p(n)
= \frac{\sum_{n=0}^{\infty}E_ne^{-E_n/kT}}{\sum_{n=0}^{\infty}e^{-E_n/kT}}
= \frac{\sum_{n=0}^{\infty}nh\nu e^{-nh\nu /kT}}{\sum_{n=0}^{\infty}e^{-nh\nu /kT}}

Sijoitetaan x = e^{-h\nu / kT}, jolloin saamme

\bar{E_\nu} = h\nu \frac{\sum_{n=0}^{\infty}nx^n}{\sum_{n=0}^{\infty}x^n}
=h\nu x \frac{\frac{1}{(1-x)^2}}{\frac{1}{1-x}}

Joten

\bar{E_\nu} = h\nu \frac{x}{1-x}
=\frac{h\nu}{x^{-1} - 1}
=\frac{h\nu}{e^{h\nu / kT} - 1}

Tällöin säteilyn energiatiheys yksikkötilavuudessa yksikkötaajuusintervallia kohti on

du = u(\nu)d \nu
= \frac{8 \pi \nu^2}{c^3}\bar{E_\nu}d \nu

josta

u(\nu) = \frac{8 \pi \nu^2}{c^3}\bar{E_\nu}
=\frac{8 \pi h \nu^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu / kT} - 1}
.