Normaalijakauma

Normaalijakauman tiheysfunktioiden kuvaajia eri parametripareilla. Jakauman sijainti riippuu keskiarvoparametrista ja leveys varianssiparametrista. Standardoitu normaalijakauma on tässä kuvassa punaisella.

Normaalijakauman kertymäfunktioiden kuvaajia eri parametripareilla

Normaalijakauma (toisilta nimiltään Gaussin jakauma tai Gaussin kellokäyrä) on jatkuva todennäköisyysjakauma. Nimitys kellokäyrä tulee siitä, että tiheysfunktion kuvaaja muistuttaa vanhanaikaisen kellon sivukuvaa. Luonnontieteissä normaalijakaumalle on paljon käytännöllisiä tulkintoja.

Normaalijakauma on määritelty ja jatkuva kaikilla muuttujan reaaliarvoilla. Jos satunnaismuuttuja $X$ on normaalijakautunut, niin merkitään

$X \sim \operatorname{N}(\mu,\sigma^2) .$

Parametri $\mu \in \mathbb{R}$ on jakauman odotusarvo ja $\sigma^2 > 0$ on jakauman varianssi. Jakauman tiheysfunktio on

$f_X(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} .$

Normaalijakauman kertymäfunktio on integraali

$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-t^2/2} \, dt,$

jota ei voida ratkaista analyyttisesti alkeisfunktioiden avulla. Kertymäfunktion arvoja voidaan kuitenkin laskea numeerisilla menetelmillä.

Standardoitu normaalijakauma eli standardinormaalijakauma on yleisen normaalijakauman erikoistapaus $\operatorname{N}(0,1)$. Standardoidussa normaalijakaumassa jakauman odotusarvo on 0 ja varianssi 1. Useimmissa matematiikan taulukkokirjoissa on taulukoituna standardinormaalijakauman kertymäfunktion arvoja positiivisissa pisteissä. Normaalijakauman kertymäfunktion arvojen laskeminen numeerisesti on tarkempaa, mikäli jakauma on standardinormaalijakauma.

Standardinormaalijakauman tapauksessa kertymäfunktio $\phi (x)$ voidaan esittää myös siihen läheisesti liittyvän virhefunktion $\operatorname{erf}(x)$ avulla seuraavasti:

$\phi(x) = \frac{\mathrm{erf}(x) + 1}{2}.$

Keskeisen raja-arvolauseen perusteella normaalijakaumalla on yhteys muihinkin jakaumiin. Tiettyjen lievien oletusten ollessa voimassa ja poimimalla riippumattomasti samasta jakaumasta suuri määrä satunnaismuuttujan arvoja, saadaan tulokseksi normaalijakauma riippumatta alkuperäisen jakauman muodosta.

Aiheesta muualla

• Mathworld. Normal Distribution (englanniksi)
• Table of the Standard Normal Distribution Standardinormaalijakauman kertymäfunktion arvoja (englanniksi)
• The Myth of the Bell Curve. Kritiikkiä normaalijakauman käytöstä yhteiskuntatieteissä. (englanniksi)

Viitteet

Todennäköisyysjakaumat