Virhefunktio

Wikipedia

Loikkaa: valikkoon, hakuun
Virhefunktion kuvaaja

Virhefunktio on eräs useimmin vastaantulevista erikoisfunktioista. Siihen törmää helposti monissa käytännön tilanteissa, varmimmin todennäköisyyslaskennassa ja statistisessa mekaniikassa. Virhefunktio vastaa normitetun normaalijakauman kertymäfunktiota. Itse virhefunktion lisäksi usein tulee vastaan myös virhefunktion komplementti.

Virhefunktio määritellään integraalina, mutta tarkka esitysmuoto vaihtelee hieman eri lähteissä. Tavallisin määritelmä on

\textrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}dt

[muokkaa] Virhefunktion ominaisuuksia

Virhefunktio on pariton funktio

\textrm{erf}(-x) = -\textrm{erf}(x)\,

ja jos funktion argumentti on kompleksiluku, kompleksikonjugaatille on voimassa

\textrm{erf}(z^*) = (\textrm{erf}(z))^*\,.

Virhefunktiota ei ole mahdollista lausua alkeisfunktioiden avulla, mutta sitä vastaava Taylorin sarja on

\operatorname{erf}(x)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)n!} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\ \cdots\right)

Sille voidaan esittää myös approksimaatio asymptoottisen sarjan avulla. Virhefunktion ensimmäinen derivaatta seuraa välittömästi määritelmästä

\frac{d}{dx}\textrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}

ja korkeammat derivaatat voi laskea kaavalla

\frac{d^n}{dx^n}\textrm{erf}(x) = (-1)^{n-1}\frac{2}{\sqrt{\pi}}H_{n-1}(x)e^{-x^2},

missä Hk(x) on k:s Hermiten polynomi. Virhefunktiolla on myös integraali

\int \textrm{erf}(x) dx = x\;\textrm{erf}(x) + \frac{e^{x^2}}{\sqrt{\pi}}

Virhefunktion käänteisfunktio voidaan esittää sarjakehitelmänä

\textrm{erf}^{-1}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{c_n}{2n+1}(\frac{\sqrt{\pi}}{2}x)^{2n+1},

missä

c_n=\sum_{m=0}^{n-1}\frac{c_m c_{n-1-m}}{(m+1)(2m+1)}, \; c_0 = 1


[muokkaa] Virhefunktion komplementti

Virhefunktion komplementin kuvaaja.

Virhefunktion komplementti määritellään

\textrm{erfc}(x) = 1 - \textrm{erf}(x)\,

tai yhtäpitävästi integraalina

\textrm{erfc}(x) = \int_{x}^{\infty}e^{t^2}dt.

ja se toteuttaa differentiaaliyhtälön

\frac{d^2y}{dx^2} + 2x\frac{dy}{dx} -2y = 0.

Virhefunktion komplementin derivointikaava muistuttaa virhefunktion vastaavaa

\frac{d}{dx}\textrm{erfc}(x) = -\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}

ja integraalikin muistuttaa virhefunktion integraalia

\int \textrm{erfc}(x) dx = x\;\textrm{erfc}(x) - \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}

[muokkaa] Aiheesta muualla

Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org/wiki/Virhefunktio
Henkilökohtaiset työkalut