Virhefunktio

Virhefunktion kuvaaja

Virhefunktio on eräs useimmin vastaantulevista erikoisfunktioista. Siihen törmää helposti monissa käytännön tilanteissa, varmimmin todennäköisyyslaskennassa ja statistisessa mekaniikassa. Virhefunktio liittyy läheisesti normitetun normaalijakauman kertymäfunktioon. Itse virhefunktion lisäksi usein tulee vastaan myös virhefunktion komplementti.

Virhefunktio määritellään integraalina, mutta tarkka esitysmuoto vaihtelee hieman eri lähteissä. Tavallisin määritelmä on

$\textrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt$

Virhefunktion ominaisuuksia

Virhefunktio on pariton funktio

$\textrm{erf}(-x) = -\textrm{erf}(x)\,$

ja jos funktion argumentti on kompleksiluku, kompleksikonjugaatille on voimassa

$\textrm{erf}(z^*) = (\textrm{erf}(z))^*\,$.

Virhefunktiota ei ole mahdollista lausua alkeisfunktioiden avulla, mutta sitä vastaava Taylorin sarja on

$\operatorname{erf}(x)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)n!} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\ \cdots\right)$

Sille voidaan esittää myös approksimaatio asymptoottisen sarjan avulla. Virhefunktion ensimmäinen derivaatta seuraa välittömästi määritelmästä

$\frac{d}{dx}\textrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}$

ja korkeammat derivaatat voi laskea kaavalla

$\frac{d^n}{dx^n}\textrm{erf}(x) = (-1)^{n-1}\frac{2}{\sqrt{\pi}}H_{n-1}(x)e^{-x^2}$,

missä $H_k(x)$ on $k$:s Hermiten polynomi. Virhefunktiolla on myös integraali

$\int \textrm{erf}(x) dx = x\;\textrm{erf}(x) + \frac{e^{x^2}}{\sqrt{\pi}}$

Virhefunktion käänteisfunktio voidaan esittää sarjakehitelmänä

$\textrm{erf}^{-1}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{c_n}{2n+1}(\frac{\sqrt{\pi}}{2}x)^{2n+1}$,

missä

$c_n=\sum_{m=0}^{n-1}\frac{c_m c_{n-1-m}}{(m+1)(2m+1)}, \; c_0 = 1$

Virhefunktio ja normaalijakauma

Virhefunktion ja normitetun normaalijakauman kertymäfunktion $\Phi(x)$ välillä on yhteys:

$erf (x) = 2 \Phi(x) - 1$,

$\Phi(x) = \frac {erf(x) + 1}{2}$.

Molempien funktioiden raja-arvo, kun x kasvaa rajatta, on 1, mutta

$\lim_{x to -\infty} \Phi(x) = 0$,

kun taas

$\lim_{x to -\infty} erf(x) = -1$

Muuttujan arvolla x=0 saa virhefunktio arvon 0 mutta normaalijakauman kertymäfuntio arvon 1/2.

Virhefunktion komplementti

Virhefunktion komplementin kuvaaja.

Virhefunktion komplementti määritellään

$\textrm{erfc}(x) = 1 - \textrm{erf}(x)\,$

tai yhtäpitävästi integraalina

$\textrm{erfc}(x) = \int_{x}^{\infty}e^{t^2}\,\mathrm dt$.

ja se toteuttaa differentiaaliyhtälön

$\frac{d^2y}{dx^2} + 2x\frac{dy}{dx} -2y = 0$.

Virhefunktion komplementin derivointikaava muistuttaa virhefunktion vastaavaa

$\frac{d}{dx}\textrm{erfc}(x) = -\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}$

ja integraalikin muistuttaa virhefunktion integraalia

$\int \textrm{erfc}(x) dx = x\;\textrm{erfc}(x) - \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}$

Aiheesta muualla

• Virhefunktio Mathworldissa (englanniksi)
• Virhefunktion komplementti Mathworldissa (englanniksi)