Ympyrä

Ympyrä ja sen osia

Ympyrä on geometriassa kaikkien niiden tason pisteiden joukko, joiden etäisyys annetusta pisteestä (ympyrän keskipisteestä) on yhtä suuri kuin ympyrän säde r. Kehän pisteeltä toiselle kulkevaa janaa kutsutaan jänteeksi. Halkaisija on jänne, joka kulkee keskipisteen kautta. Ympyrän pyörähdyskappale sen keskipisteen kautta kulkevan suoran ympäri on pallo.

Ympyrän voidaan ajatella olevan erikoistapaus ellipsistä, joka on ympyrän ohella yksi kartioleikkauskuvio.

Ympyräksi kutsutaan usein myös ympyrän kehän sisään jäävää tason osaa eli ympyräkiekon aluetta, joka koostuu pisteistä, joiden etäisyys keskipisteestä on pienempi tai yhtä suuri kuin säde. Muun muassa metristen avaruuksien topologiassa ja kompleksianalyysissä alueesta käytetään nykyisin yleensä termiä kiekko.

Piirin ja halkaisijan suhde on vakio, pii, joka merkitään kreikkalaisella kirjaimella $\pi \ \,$.

Ympyrän kehän pituus ja pinta-ala

Ympyrän kehän (piirin) pituus $p$ saadaan kaavasta:

$p=2\pi r\$, jossa $r$ on ympyrän säde ja $\pi \ \,$on vakio pii noin 3,14.

Voidaan myös ilmaista säde $r$ ja halkaisijan $d$ avulla, eli $2r=d$:

$p=\pi d\$

Ympyrän sisään jääneen alueen pinta-ala $A$ saadaan kaavasta:

$A=\pi {r^{2}}\,$, missä $r$ on ympyrän säde tai vastaavasti:

$A={\frac {\pi }{4}}d^{2}$, jossa $d$ on ympyrän halkaisija.

Jos ympyrän kehän pituus $p$ tunnetaan, voidaan pinta-ala $A$ laskea kaavasta:

$A={\frac {p^{2}}{4\pi }}$

Jos ympyrän halkaisija $d$ ja kehän pituus $p$ tunnetaan, voidaan pinta-ala laskea (ilman lukua $\pi$) kaavasta:

$A={\frac {pd}{4}}$

Jos tarkastellaan vakiomittaisia sulkeutuvia käyriä, on ympyrä sellainen käyrän muoto, joka sulkee sisäänsä suurimman mahdollisen pinta-alan.

Matemaattisesti tämä isoperimetrisen epäyhtälön nimellä kulkeva tulos voidaan muotoilla seuraavasti. Olkoon $p$ sulkeutuvan, jatkuvan ja itseään leikkaamattoman tasokäyrän eli Jordanin käyrän pituus ja $A$ sen rajaaman äärellisen tasoalueen pinta-ala. Tällöin

${\frac {p^{2}}{A}}\geq 4\pi$

missä yhtäsuuruus pätee silloin ja vain silloin, kun kyseessä on ympyrä.

Ympyrän kaari, sektori ja segmentti

Ympyrän kaari tarkoittaa ympyrän kehän osaa. Esim. sektori tai segmentti jakaa ympyrän kehän kahteen kaareen.

Ympyrän kaaren pituus saadaan jakamalla kaaren rajaavan keskuskulman asteluku 360 asteella ja kertomalla se tämän jälkeen ympyrän kehän pituuden kaavalla $p=2\pi r\$.

Ympyrän sektori tarkoittaa ympyrän kahden säteen ja niiden ympyrästä rajaaman kaaren sisälle jäävää aluetta.

Ympyrän sektorin pinta-ala saadaan jakamalla sektorin rajaavien säteiden muodostaman keskuskulman asteluku 360 asteella ja kertomalla se tämän jälkeen ympyrän pinta-alan kaavalla $A=\pi {r^{2}}\,$.

Ympyrän segmentti tarkoittaa ympyrän jänteen ja sen ympyrästä rajaaman kaaren sisälle jäävää aluetta.

Ympyrän yhtälö kaksiulotteisessa reaaliavaruudessa

Keskipisteen ja säteen avulla

Olkoon piste (x₀,y₀) ympyrän keskipiste, r ympyrän säde ja piste (x,y) mikä tahansa koordinaatiston piste. Jokaisen ympyrän kehän pisteen etäisyys ympyrän keskipisteestä on ympyrän säde eli r. Kuvitellaan suorakulmainen kolmio, jonka terävinä kulmina on pisteet (x₀,y₀) ja (x,y). Kolmion hypotenuusan pituus eli pisteiden etäisyys on Pythagoraan lauseen mukaan

${\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}$

Koska etäisyyden tulee olla r, saadaan

$r={\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}$

Korottamalla yhtälö puolittain toiseen saadaan hieman kätevämpi muoto

$r^{2}=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}\,\!$

Josta saadaan poistamalla sulut potensseista ympyrän yhtälön normaalimuoto:

$x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0\,\!$ , jossa a, b, c ja r ovat reaalilukuja:

$a=-2x_{0},b=-2y_{0},c=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-r^{2}$

Jos ympyrän keskipiste on pisteessä (0,0), ts. origossa, on ympyrän yhtälö

$r^{2}=x^{2}+y^{2}\,\!$

joka on parametrimuodossa:

$\left\{{\begin{matrix}x=r\cos {t}\\y=r\sin {t}\end{matrix}}\right.$

Napakoordinaattiesitys origokeskiselle ympyrälle on yksinkertaisesti: r = vakio

Kun ympyrän yhtälö tunnetaan, voidaan sen pinta-ala ja kehän pituus laskea myös integroimalla. Lisäksi voidaan johtaa kaavat pallon tilavuudelle ja pinta-alalle.

Kolmen pisteen avulla

Jos kolmen pisteen koordinaatit, esimerkiksi kolmion kärjet, ovat konsykliset ja merkitään $\scriptstyle P_{1}(x_{1},y_{1}),$ $\scriptstyle P_{2}(x_{2},y_{2})$ ja $\scriptstyle P_{3}(x_{3},y_{3})$, voidaan ympyrän yhtälö kirjoittaa determinantilla

${\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0,$

joka on evaluoituna

$a(x^{2}+y^{2})+b_{x}x+b_{y}y+c=0,$

missä

$a\equiv {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}},$

x:n kerroin $b_{x}$ saadaan matriisista

$D={\begin{bmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\\\end{bmatrix}}$

jättämällä $x_{i}$ termejä sisältävä sarake pois (vastaavasti $b_{y}$:n suhteen) determinantista

$b_{x}=-{\begin{vmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&y_{3}&1\\\end{vmatrix}}$

ja

$b_{y}={\begin{vmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&1\\\end{vmatrix}},$

ja vakiotermi c

$c\equiv -{\begin{vmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}\\\end{vmatrix}}.$

Ympyrän yhtälö voidaan esittää keskipistemuodossa

$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2},$

missä keskipisteen koordinaatit ovat

$x_{0}=-{\frac {b_{x}}{2a}}$

ja

$y_{0}=-{\frac {b_{y}}{2a}}$

sekä säde

$r={\frac {\sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}-4ac}}{2|a|}}.$

Ympyrän kulmia

Ympyrän kehäkulmaksi kutsutaan sellaista ympyrän kulmaa, jonka kärkipiste on ympyrän kehällä ja jonka molempien kylkien osana on jänne tai jonka toisen kyljen osana on jänne ja toinen kylki on tangentilla. Keskuskulma taas tarkoittaa sellaista ympyrän kulmaa, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä. Tangenttikulma tarkoittaa kulmaa, joiden kyljet ovat tangenteilla.

Neljä ympyrää

Neljä toisia sivuavaa ympyrää

Piirrettäessä neljä samanlaista ympyrää sivuamaan toisia siten, että ympyröiden keskipisteet muodostavat neliön, on ympyröiden väliin jäävän alueen (merkitty harmaalla) pinta-ala

$A=(4-\pi )r^{2}$,

missä r on kunkin ympyrän säde.

Seitsemän ympyrää

Seitsemän toisia sivuavaa ympyrää

Ympyrän ympärille voidaan piirtää tiiviiksi ryhmäksi kuusi muuta samanlaista ympyrää siten, että kukin lisätty ympyrä sivuaa kahta muuta ja keskusympyrää.

Mikäli ympäröivien ympyröiden säde on kaksi kertaa niin suuri kuin keskusympyrän säde r, ympäröivien ympyröiden määräksi tulee viisi. Jos ympäröivien ympyröiden säde on r/2, niitä mahtuu kuvioon kymmenen.

Ympyrä ja neliö

Ympyrä ja neliö

Mikäli ympyrällä ja neliöllä on viisi yhteistä pistettä kuvan osoittamalla tavalla, niin ympyrän säteen ja neliön sivun suhde on 5/8.

Ympyrä ja paraabeli

Paraabelien pisteet ovat yhtä kaukana ympyrästä ja x-akselista

Sellaisten pisteiden ura, jotka ovat yhtä kaukana ympyrästä ja x-akselista, on paraabeli. Kuvioita on kaksi, ja niitä kuvaavat yhtälöt

$y=\pm {x^{2}-r^{2} \over 2r}$

Katso myös

• Pisteen potenssi
• Ympyrän keskipisteen konstruointi

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6.
• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I – Vektorialgebra ja analyyttinen geometria. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-067-0.
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

Aiheesta muualla

• Opetusvideo ympyrän kehän ja kaaren pituudesta
• Opetusvideo ympyrään liittyvistä käsitteistä
• Opetusvideoita ympyrään liittyvistä pinta-aloista
• Ympyrän pinta-alan laskeminen