Nelivektori

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Nelivektori on neljästä komponentista koostuva vektori, joka sijaitsee neliulotteisessa aika-avaruudessa.[1] Se on matemaattinen työkalu, jolla kuvastetaan aika-avaruuden relativistisia ilmiöitä.[2]

Aika-avaruudessa sijaitsevaa tapahtumaa voidaan kuvata nelivektorilla, jossa on kolme paikkakoordinaattia ja yksi ajan koordinaatti. Nelivektorin komponenteilla on mahdollista kuvata myös energiaa ja liikemäärää.

Matemaattinen muotoilu[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aika-avaruuskoordinaatteja voidaan kuvata kontravarianttimuotoisella nelivektorilla \scriptstyle x^{\mu}=(x^1,~x^2,~x^3,~x^4)=(ct,x,y,z), jossa yläindeksi \scriptstyle \mu = 1,~2,~3,~4 kuvaa dimensiota aika-avaruudessa. Kovariantti nelivektori voidaan ilmaista muodossa \scriptstyle x_{\mu}=(x_1,~x_2,~x_3,~x_4)=(ct,-x,-y,-z).[3]

Kovariantti nelivektori \scriptstyle x_{\mu} saadaan, kun kerrotaan kontravariantti nelivektori \scriptstyle x^{\nu} metrisellä tensorilla \scriptstyle g_{\mu\nu}=g^{\mu\nu}:[4]

g_{\mu\nu} x^{\nu}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ct \\ -x \\ -y \\ -z \end{bmatrix}=x_{\mu}.

Käyttö suppeassa suhteellisuusteoriassa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lorentz-muunnos voidaan esittää helposti nelivektorin avulla. Kuvataan avaruus-ajan tapahtumaa S nelivektorilla

\mathfrak{s} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ ict \end{bmatrix}.

Tapahtuma S muunnetaan Lorentz-muunnoksella toiseen inertiaalikoordinaatistoon seuraavasti: \mathfrak{s}' = \mathfrak{L}\mathfrak{s}, tässä \mathfrak{L} on 4x4 matriisi

\mathfrak{L}=\begin{bmatrix} \gamma & 0 & 0 & i\gamma\beta \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -i\gamma\beta & 0 & 0 & \gamma \end{bmatrix}.

Aika-avaruusintervalli saa nelivektoreilla muodon \mathfrak{s}^T \mathfrak{s} = x^2 + y^2 + z^2 - c^2 t^2. Aika-komponentin imaginaarisella kertoimella on siis suuri merkitys. Huomataan että aika-avaruusintervalli säilyy Lorentz-muunnoksessa, siis \mathfrak{s}^T \mathfrak{s} = \mathfrak{s'}^T \mathfrak{s'}.

Tärkeä nelivektori on myös klassista liikemäärää vastaava neliliikemäärä, jolle voidaan myös johtaa Lorentz-muunnoksen lauseke. Siinä yhtenä komponenttina on energiaan verrannollinen suure iE/c.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Øyvind Grøn & Sigbjorn Hervik: Einstein's General Theory of Relativity: With Modern Applications in Cosmology, s. 52. Springer, 2007. ISBN 9780387691992. (englanniksi)
  2. Joseph Gallant: Doing Physics with Scientific Notebook: A Problem Solving Approach, s. 387. John Wiley & Sons, 2012. ISBN 9781119941569. (englanniksi)
  3. Alexander Voitkiv ja Joachim Ulrich: Relativistic collisions of structured atomic particles, s. 53. Springer, 2008. ISBN 9783540784203. (englanniksi)
  4. T. Morii, C. S. Lim ja S. N. Mukherjee: The physics of the standard model and beyond, s. 249. World Scientific, 2004. ISBN 9789810245719. (englanniksi)
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.