Nelivektori

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Nelivektori on suhteellisuusteoriassa neljästä komponentista koostuva vektori, joka on määritelty neli­ulotteisessa aika-avaruudessa.[1] Se on matemaattinen työkalu, jolla kuvastetaan aika-avaruuden relativistisia ilmiöitä.[2], Minkowskin avaruudessa. Se eroaa tavallisesta euklidisesta vektorista siinä, että neli­vektorit muuntuvat koordinaatistosta toiseen siirryttäessä Lorentzin muunnoksen mukaisesti.

Aika-avaruudessa sijaitsevaa tapahtumaa voidaan kuvata nelivektorilla, jossa on kolme paikka­koordinaattia ja yksi ajan koordinaatti. Nelivektorin komponenteilla on mahdollista kuvata myös energiaa ja liikemäärää.

Tässä artikkelissa neli­vektoreita käsitellään erityisen suhteellisuus­teorian mukaisesti. Vaikka neli­vektoreita käytetään myös yleisessä suhteellisuus­teoriassa, jotkin tässä artikkelissa mainitut tulokset eivät siinä enää sellaisenaan päde.

Tässä artikkelissa käytetään seuraavia merkintöjä: lihavoidut pienet kirjaimet merkitsevät kolmiulotteisia vektoreita, hatulla varustetut kirjaimet kolmiulotteisen avaruuden yksikkö­vektoreita, lihavoidut isot kirjaimet merkitsevät neli­vektoreita, poikkeuksena neli­gradientti. Lisäksi käytetään tensorien indeksi­notaatiota.

Nelivektorien algebra[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Reaaliarvoisen kannan nelivektorit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Nelivektori A on vektori, jolla on yksi "ajan­luontoinen" ja kolme "paikan­luontoista" komponenttia. Sellaisille on käytössä useita samaa tarkoittavia merkintätapoja:[3]

Yläindeksit tarkoittavat kontravariantteja komponentteja. Tavanomainen käytäntö on, että latinalaisilla kirjaimilla indeksoidaan ainoastaan paikanluontoiset komponentit, i = 1, 2, 3, kun taas kreikkalaisia kirjaimia käytetään indeksoitaessa komponentit Einsteinin summaussäännön mukaisesti, kun myös myös ajan­luontoinen komponentti on mukana: a = 0, 1, 2, 3, missä 0 vastaa ajan­luontoista komponenttia. Jako ajan- ja paikan­luontoisiin komponentteihin on hyödyllinen määriteltäessä nelivektorien ja muiden tensori­suureiden välisiä riippuvuuksia kuten laskettaessa Lorentz-invariantteja sisätuloina, mistä jäljempänä esitetään esimerkkejä.

Erityisessä suhteellisuus­teoriassa paikan­luontoinen kantana e1, e2, e3 ja komponentteina A1, A2, A3 käytetään usein karteesista kantaa ja komponentteja:

vaikka luonnollisesti muitakin kantoja ja koordinaatteja voidaan käyttää, esimerkiksi pallokoordinaatistoa

,

sylinterikoordinaatistoa,

tai mitä tahansa ortogonaalisia tai jopa käyrä­viivaista koordinaatistoa]]. On huomattava, että tässä ala­indekseinä käytetyt tunnukset eivät ole indeksejä, jotka saavat lukuarvoja. Yleisessä suhteellisuus­teoriassa on käytettävä paikallista käyrä­viivaista koordinaatistoa. Geometrisesti neli­vektoreitakin voidaan kuvata nuolilla, mutta aika-avaruudessa, ei pelkästään avaruudessa. Suhteellisuus­teoriassa nuolet piiretään aika-avaruus-diagrammiin eli Minkowskin diagrammiin. Jäljempänä neli­vektoreita sanotaan usein lyhyesti vektoreiksi.

On myös tavallista esittää kannan muodostavat yksikkövektorit muodossa


niin, että

Indeksit on tapana kirjoittaa alaindekseinä kovarianttien ja yländekseinä kontravarianttien nelivektorien tapauksessa. Kovariantti neli­vektori voidaan näin ilmaista muodossa .[4] Kovariantti neli­vektori saadaan, kun kerrotaan kontra­variantti neli­vektori metrisellä tensorilla :[5]

.

Eri merkintätavoilla kovariantit komponentit ovat:

missä alaindeksit osoittavat kyseessä olevan kovariantti vektori. Usein metriikka on diagonaalinen, kuten orto­gonaalisten mutta ei yleisten käyrä­viivaisten koordinaattien tapauksessa.

Kanta voidaan esittää rivivektoreina:

niin että:

Perusteena näille merkintätavoille on se, että sisätulo on skalaari.

Lorentzin muunnos[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos oletetaan kaksi inertiaalista tai pyörivää vertailujärjestelmää, neli­vektori voidaan määritellä suureeksi, joka muuntuu Lorentz-muunnosmatriisin mukaisesti:

Indeksimerkintöjä käytetettäessä kontravariantit komponentit muuntuvat seuraavasti:

ja kovariantit komponentit seuraavasti:

missä matriisilla on komponentit Λµ? rivillä µ ja sarakkeella ν,, ja sen käänteismatriisin Λ-1 komponentit ovat Λµν, rivillä µ ja sarakkeella ν,.

Esimerkiksi tapahtuman neli­paikka S muunnetaan Lorentz-muunnoksella toiseen inertiaali­koordinaatistoon seuraavasti: , tässä on 4x4-matriisi

.

Aika-avaruus­intervalli saa neli­vektoreilla muodon . Aika-komponentin imaginaarisella kertoimella on siis suuri merkitys. Huomataan että aika-avaruusintervalli säilyy Lorentz-muunnoksessa, siis .

Kaikki neli­vektorit muuntuvat samalla tavalla, ja tämä voidaan yleistää neli­ulotteisille relati­visti­sille tensoreille.

Puhtaat kierrot mielivaltaisen akselin ympäri[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos oletetaan kaksi kiinteän kulman θ toisistaan erottamaa, yksikkö­vektorien määrittelemää vertailu­järjestelmää

matriisin Λ komponentit ovat:[6]

missä dij on Kroneckerin delta ja eijk on kolmiulotteinen Levin-Civitan symboli. Neli­vektorin paikan­luontoiset komponentit kiertyvät, kun taas ajan­luontoinen komponentti pysyy muuttumattomana.

Jos rotaatio tapahtuu vain z-akselin ympäri, Lorentzin matriisin paikan­luontoinen osa yksin­kertaistuu rotaatiomatriisiksi z-akselin ympäri:

Tasaiset liikkeet mielivaltaiseen suuntaan[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tavanomainen koordinaatiston muunnos:Lorentzin siirtymä x-akselin suunnassa.

Kun kaksi vertailu­järjestelmää liikkuu toistensa suhteen tasaisella nopeudella v (tässä tarkoitetaan tavan­omaista nopeutta kolmi­ulotteisessa avaruudessa, ei jäljempänä määriteltävää neli­nopeutta), on kätevää käyttää suhteellisen nopeuden yksikkönä valon­nopeutta c seuraavasti:

Täten kun rotaatiota ei ole eli molempien vertailu­järjestelmien koordinaatti­akselit ovat saman­suuntaiset, matriisin Λ komponentit ovat:[7]

missä on Lorentzin tekijä

ja δij on Kroneckerin delta. Toisin kuin pelkän rotaation tapauksessa, tasaisessa suora­viivaisessa liikkeessä matriisin paikan- ja ajan­luontoiset komponentit kytkeytyvät toisiinsa.

Kun liike tapahtuu ainoastaan x-akselin suuntaan, matriisi yksin­kertaistuu muotoon[8][9]

missä käytetään rapiditeettia , joka voidaan ilmaista hyper­bolisten funktioiden avulla:

Tämä Lorentzin matriisi osoittaa, että etenemis­liike voidaan käsittää hyper­boliseksi rotaatioksi neliulotteisessa aika-avaruudessa, jolloin se on analoginen ympyräliikkeelle kolmi­ulotteisessa avaruudessa.

Ominaisuudet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lineaarisuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Nelivektoreilla on samat lineaarisuus­ominaisuudet kuin euklidisilla vektoreilla kolmessa ulottuvuudessa. Niitä voidaan laskea yhteen tavalliseen tapaan:

ja ne voidaan kertoa skalaarilla λ komponenteittain:

Samoin vähennyslasku on nelivektoreillakin yhteenlaskun käänteistoimitus, joka määritellään komponenteittain:

Sisätulo[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Katso myös: Intervalli (fysiikka)

Kahden nelivektorin A ja B sisätulo eli skalaaritulo määritellään Einsteinin notaatiota käyttäen seuraavasti:

missä on Minkowskin metriikka. Tässä yhteydessä sisätuloa sanotaan myös Minkowskin sisä­tuloksi. Asian havain­nollis­tamiseksi on kätevää kirjoittaa määritelmä uudestaan matriisimuodossa seuraavasti:

missä tapauksessa ημν tarkoittaa rivillä µ ja sarakkeessa ν olevaa lukua Minkowskin metriikkaa esittävässä neliömatriisissa. Minkowskin metriikka ei ole euklidinen metriikka, koska siinä kahden aika-avaruuden eri pisteenkin (tapahtuman) välinen intervalli voi olla nolla. Sisätulo voidaan kirjoittaa monella muullakin tavalla, koska metrinen tensori muuttaa A:n ja B:n kovariantit komponentit kontra­varianteiksi tai päinvastoin. Näille komponenteille pätee:

tai matriisimuodossa:

kun taas A:n ja B:n kovarianteille komponenteille pätee:

tai matriisi­muodossa samaan tapaan kuin edellä.

Nelivektorin A sisätuloa itsensä kanssa sanotaan vektorin normiksi, ja se merkitään ja määritellään seuraavasti:

Intuitiivisesti sen voidaan käsittää merkitsevän neli­vektorin pituuden tai suuruuden neliötä. Neli­vektorin pituus, jota sanotaan myös sen magnitudiksi, ei kuitenkaan välttämättä ole positiivinen, toisin kuin kolmi­ulotteisten vektorien euklidisessa avaruudessa.

Seuraavassa esitetään kaksi tavallisinta valintaa metriseksi tensoriksi standardi­kannassa, joka vastaa oleellisesti karteesisia koordinaatteja. Jos käytetään orto­gonaalisia koordinaatteja, tarvitaan skaalatekijöitä metriikan paikan­luontoisen osan diagonaalisessa suunnassa, kun taas yleisissä käyrä­viivaisissa koordinaateissa metriikan koko paikan­luontoisen osan komponentit riippuisivat käytetystä käyräviivaisesta kannasta.

Standardikanta, etumerkit (+---)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Etumerkkikäytännössä (+---) summaus indeksien yli johtaa tulokseen

tai matriisimuodossa:

Erityisessä suhteellisuusteoriassa on yleinen käytäntö ottaa lauseke

yhteen vertailu­järjestelmään, missä C on tämän vertailu­järjestelmän sisätulon arvo ja

toisessa vertailu­järjestelmässä, missä C′ on sisä­tulon arvo tässä järjestelmässä. Koska sisä­tulo on invariantti, näiden on oltava yhtä suuret:

toisin sanoen:

Koska fysikaaliset suureet suhteellisuus­teoriassa ovat yleensä neli­vektoreita, tämä yhtälö on muistuttaa säilymis­lakeja, mutta se ei esitä minkään suureen säilymistä. Minkowskin sisätulon ensi­sijainen merkitys on siinä, että mille tahansa kahdelle nelivektorille sen arvo on invariantti eli sama kaikissa vertailu­järjestelmissä ja kaikille havaitsijoille; koordinaatiston vaihdos ei johda sisätulon arvon muutokseen. Nelivektorin komponentit sitä vastoin muuttuvat siirryttäessä koordinaatistosta toiseen; A ja A′ liittyvät toisiinsa Lorentzin muunnoksen osoittamalla tavalla, ja samoin B and B′. Tämäntapaista lauseketta kuitenkin käytetään suhteellisuus­teoreettisissa laskuissa säilymis­lakien tavoin, koska komponenttien suuruudet voidaan määrittää suorittamatta ekspli­siitti­sesti Lorentzin muunnosta. Erityisen esimerkin tästä muodostavat energia ja liikemäärä, jotka yhdistyvät samaksi neli­vektoriksi, neliliikemääräksi.

Näillä merkkisäännöillä vektorin A normi on:

Niinpä (+---) -merkki­sääntöjä käytettäessä neli­vektori on paikan­luontoinen, jos ||A|| < 0, ajan­luontoinen, jos ||A|| > 0 ja nolla­vektori, jos ||A|| = 0.

Standardikanta, etumerkit (-+++)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jotkut kirjoittajat määrittelevät :n päin­vastaisin etumerkein, missä tapauksessa saadaan etumerkki­käytäntö (-+++). Tässä tapauksessa summaus johtaa tulokseen:

matriisimuodossa:

On huomattava, että tässä tapauksessa yhdessä vertailujärjestelmässä pätee:

toisessa sen sijaan:

joten:

ja näin ollen C saadaan edellisen kanssa yhtä­pitävästi A.n ja B:n avulla. Kumpikin käytäntö toimii yhtä hyvin. Nämä kaksi eri tavalla määriteltyä Minkowskin metriikkaa eroavat toisistaan vain neli­vektorin kovarianttien ja kontra­varianttien komponenttien etu­merkkien osalta, toisin sanoen etu­merkit riippuvat siitä, kumpaa käytäntöä noudatetaan.

Tämän etumerkki­käytännön mukaisesti normin neliö on:

Niinpä (-+++) -merkkisääntöjä käytettäessä neli­vektori on paikan­luontoinen, jos ||A|| > 0, ajan­luontoinen, jos ||A|| > 0 ja nollavektori, jos ||A|| = 0.

Duaalivektorit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sisätulo esitetään usein ensimmäisen vektorin duaalivektorin ja jälkimmäisen vektorin tulona:

Tässä Aν:t ovat A:n duaalivektorin A* komponentit duaali­kannassa, ja niitä sanotaan A:n kovarianteiksi koordinaateiksi, kun taas alkuperäisiä komponentteja Aν sanotaan sen kontra­varianteiksi koordinaateiksi.

Nelivektorien derivaatat ja differentiaalit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Erityisessä (mutta ei yleisessä) suhteellisuus­teoriassa neli­vektorin derivaatta invariantin skalaarin λ suhteen on sekin neli­vektori. Usein on myös kätevää käyttää neli­vektorin differentiaalia dA ja jakaa se skalaarin λ differentiaalilla :

missä kontravariantit komponentit ovat:

ja kovariantit koordinaatit:

Relativistisessa mekaniikassa neli­vektorin differentiaali jaetaan usein itseis­ajan differtiaalilla.

Perustavia nelivektoreita[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Nelipaikka[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Minkowskin avaruuden pisteillä, joita sanotaan myös "tapahtumiksi", on paikallinen ja ajallinen sijainti, ja sen ilmaisee nelipaikkavektori eli nelipaikka, joka annetussa vertailujärjestelmässä voidaan ilmaista neljän koordinaatin avulla:

Tässä r' on pisteen paikkavektori kolmi­ulotteisessa avaruudessa. Jos r on aika­koordinaatin t funktio samassa vertailujärjestelmässä, toisin sanoen r = r(t), tämä vastaa tapahtumien sarjaa ajan t muuttuessa. Määritelmä X0 = ct merkitsee sitä, että kaikki koordinaatit voidaan ilmoittaa samoilla, mittayksiköillä, pituuden yksiköillä.[10][11][12] Nämä koordinaatit ovat tapahtuman paikka­neli­vektorin komponentit. Siirtymä­neli­vektori määritellään kahta tapahtumaa yhdistävänä "nuolena":

Nelipaikkavektorin sisätulo itsensä kanssa on[13]

mikä määrittelee Minkowskin aika-avaruudessa intervallin s ja itseis­ajan t, jotka ovat invariantteja. Neli­paikka­vektorin differentiaalin sisä­tulo itsensä kanssa on:

mikä määrittelee differentiaalisen viivaelementin ds ja differentiaalisen itseis­ajan dt, mutta tämä normi on myös:

niin että:

Fysikaalisia ilmiötä tarkasteltaessa päädytään luonnollisesti differentiaaliyhtälöihin. Funktioiden paikka- ja aika­derivaattoja tarkasteltaessa ei kuitenkaan ole selvää, minkä vertailu­järjestelmän suhteen ne on otettu. On sovittu, että aika­derivaatat otetaan itseisajan t suhteen. Koska itseisaika on invariantti, tämä takaa, että jokaisen neli­vektorin derivaatta itseisajan suhteen on myös neli­vektori. On tärkeä löytää yhteys tämän itseis­aika­derivaatan ja toisen aika­derivaatan, yleensä jonkin inertiaali­järjestelmän koordinaatti­ajan suhteen otetun derivaatan välillä. Tämä yhteys saadaan ottamalla edellä selitetty differentiaalinen invariantti aika-avaruus-intervalli ja jakamalla sitten suureella cdt2, jolloin saadaan:

missä u' = dr/dt on kohteen nopeus mitattuna samassa järjestelmässä kuin koordinaatit x, y, z ja koordinaattiaika t, ja

on Lorentzin tekijä. Tästä saadaan käyttökelpoinen yhteys koordinaatti­ajan ja itseis­ajan suhteen otettujen differentiaalien välille:

Tämä yhteys voidaan todeta myös siitä, miten aika muuntuu Lorentzin muunnoksessa. Suhteellisuus­teoriassa tärkeitä nelivektoreita voidaan saada jakamalla tällä differentiaalilla.

Neligradientti[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Koska osittais­derivaatat ovat lineaarisia operaattoreita, voidaan neligradientti muodostaa osittaiserivaatasta , ja avaruudellisesta gradientista . Käytettäessä standardikantaa indeksi- ja lyhennysmerkintöineen neligradientin kontravariantit komponentit ovat:

On otettava huomioon, että kantavektorit on asetettu komponenttien, jotta tämä ei sekaantuisi kantavektorien derivaattoihin tai yksinkertaisesti sen osoittamiseksi, että osittaisderivaatta on tämän nelivektorin komponentti. Kovariantit komponentit ovat:

Koska tämä on operaattori, sillä ei ole "pituutta", mutta jos lasketaan muodollisesti tämän operaattorin sisätulo itsensä kanssa, saadaan toinen operaattori:

jota sanotaan D'Alembertin operaattoriksi.

Nelivektoreita fysiikan eri aloilla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kuten jäljempänä mainitut esimerkit osoittavat, monet sellaiset suureet, joita ei-relativistisessa fysiikassa pidetään skalaareina, osoittautuvat suhteellisuusteoriassa jonkin nelivektorisuureen ajanluontoiseksi komponentiksi. Saman nelivektorin paikanluontoiset komponentit vastaavat ei-relativistisessa fysiikassa jotakin vektorisuuretta.

Kinematiikka[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Nelinopeus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Hiukkasen nelinopeus määritellään seuraavasti:

Geometrisesti U on hiukkasen maailmanviivan tangenttivektori. Nelipaikan differentiaalin avulla voidaan laskea nelinopeuden magnitudi:

Todetaan, että kaikkien hiukkasten ja kappaleiden nelinopeuden magnitudi on aina valonnopeus c:

Normi voidaan esittää myös muodossa:

josta saadaan edelleen:

mikä yksinkertaistuu Lorentzin tekijän määritelmäksi.

Nelikiihtyvyys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kappaleen nelikiihtyvyys määritellään seuraavasti:

missä a = du/dt kolmiulotteinen kiihtyvyys. Koska U:n pituus on vakio, nelikiihtyvyys on (pseudo)-ortogonaalinen nelinopeuden kanssa, toisin sanoen nelinopeuden ja nelikiihtyvyyden Minkowskin sisätulo on nolla:

kaikille maailmanviivoille. Geometrisesti nelikiihtyvyys merkitsee maailmanviivan kaarevuusvektoria Minkowskin avaruudessa.

Dynamiikka[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Neliliikemäärä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Massalliselle kappaleelle, jonka lepomassa tai invariantti massa on m', neliliikemäärä määritellään:

missä liikkuvan kappaleen kokonaisenergia on:

ja sen relativistinen kokonaisliikemäärä on:

Laskemalla neliliikemäärän sisätulo itsensä kanssa saadaan:

ja myös:

mistä saadaan kappaleen energian ja liikemäärän välinen yhteys:

Tämä tulos on käyttökelpoinen relati­visti­sessa meka­niikassa ja oleellisen tärkeä relati­visti­sessa kvantti­mekaniikassa sekä relati­visti­sessa kvantti­kenttä­teoriassa, joita kaikkia sovelletaan hiukkas­fysiikassa.

Nelivoima[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Hiukkaseen vaikuttava nelivoima määritellään vastaavalla tavalla kuin voima on Newtonin toisen lain mukaisesti määritelty liikemäärän aika­derivaattana:

missä P on se teho, jolla kappaleen liikkeeseen vaikutetaan, ja f kappaleeseen vaikuttava (kolmi­ulotteinen) voima. Kappaleeseen, jonka lepomassa m on vakio, vaikuttava nelivoima voidaan yhtä­pitävästi määritellä myös seuraavasti:

Neli­voimalle ja neli­nopeudelle voidaan sen perusteella, mitä edellä todettiin neli­kiihtyvyydestä, johtaa tulos:

Termodynamiikka[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Nelilämpövuo[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Nelilämpövuo on vektorikenttä, joka on oleellisesti saman­kaltainen kuin kolmi­ulotteinen lämpövuo q väli­aineen paikallisessa vertailujärjestelmässä:[14]

missä T on absoluuttinen lämpötila ja k lämmönjohtavuus.

Nelibaryonilukuvuo[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Baryonien vuo on:[15]

missä n on baryonien lukumääräinen tiheys baryonien paikallisessa lepo­koordinaatistossa (positiivinen baryoneille, negatiivinen anti­baryoneille), ja U on baryonien muodostaman aineen nelinopeus.

Nelientropia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Entropiaa vastaava nelivektori, nelientropia, määritellään:[16]

missä s on entropia baryonia kohti ja T absoluuttinen lämpötila aineen paikallisessa lepo­koordinaatistossa.[17]

Sähkömagnetismi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Seuraavassa on joitakin esimerkkejä sähkömagnetismiin liittyvistä neli­vektoreista.

Nelivirta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sähkövirtaa kuvaava nelivektori, nelivirta, määritellään seuraavasti:

missä j on virrantiheys ja ρ varaustiheys.

Nelipotentiaali[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sähkömagneettinen nelipotentiaali määritellään:

missä a on vektoripotentiaali ja ϕ skalaaripotentiaali. Nelipotentiaali ei ole yksi­käsitteisesti määritelty, koska se riippuu siitä, minkä kohdan potentiaali on valittu nolla­kohdaksi.

Aaltoliike[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Nelitaajuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tasoaaltoa voidaan kuvata neli­taajuudella, joka määritellään seuraavasti:

missä ν on aallon taajuus ja aallon etenemis­suuntaan osoittava yksikkövektori. Saadaan:

joten nelitaajuuden magnitudi on aina nolla.

Neliaaltovektori[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aalto­liikettä tarkas­tel­ta­essa käytetään usein aikaan t ja pituuteen r kääntäen verrannollisia suureita, kulma­taajuutta ω ja aaltovektoria k. Suhteellisuus­teoriassa nämä voidaan yhdistää neli­vektoriksi, neliaaltovektoriksi:

Likipitäen monokromaattisen valon muodostamaa aaltopakettia kuvaa yhtälö:

Aineaaltoja koskevat de Broglien relaatiot voidaan yhdistää yhdeksi yhtälöksi:

missä h on Planckin vakio jaettuna 2π:llä. Tämän normin neliö on:

ja yhdistämällä tämä sekä de Broglien relaatio

saadaan energian ja liikemäärän yhteyttä vastaava relaatio aine­aalloille:

Voidaan todeta, että massattomilla hiukkasilla (m = 0) tästä saadaan:

tai ||k|| = ω/c. Tämä on yhteen­sopiva edellisen kanssa. Niinpä fotonien kolmi­liike­määrä on ω/c aaltojen etenemis­suunnassa, jonka määrittelee yksikkö­vektori .

Kvanttiteoria[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kvantti­mekaniikassa toden­näköisyyden neli­virta on analoginen sähkö­magneettiselle neli­virralle:[18]

missä ρ on aikakomponenttia vastaava toden­näköisyyden tiheysfunktio ja vektori 'j on toden­näköisyys­virta. Epärelativistisessa kvantti­mekaniikassa tämä virta on aina hyvin määritelty, koska tiheyden ja virran lausekkeet ovat positiivisia ja ne voidaan tulkita toden­näköisyyksinä. Rela­ti­visti­sessa kvantti­mekaniikassa ­ja kvanttikenttäteoriassa ei aina ole mahdollista määritellä virtaa, varsinkaan kun vuorovaikutukset otetaan huomioon.

Jos energia korvataan energiaoperaattorilla ja liikemäärä neliliikemäärän liikemääräoperaattorilla, saadaan relati­visti­sissa aalto­yhtälöissä käytetty neliliikemääräoperaattori.

Muita muotoiluja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Nelivektorit fysikaalisen avaruuden algebrassa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Nelivektori A voidaan määritellä myös käyttämällä Paulin matriiseja kantana, jolle voidaan käyttää monia yhtäpitäviä merkin­tätapoja: [19]

tai eksplisiittisesti:

.

Tässä muotoilussa neli­vektoria ei esitä reaali­arvoinen rivi- tai sarake­vektori vaan unitaarinen matriisi, siis sellainen, jonka transpoosi ja kompleksikonjugaatti ovat samoja kuin alkuperäinen matriisi. Matriisin determinantti on neli­vektorin modulus ja näin ollen invariantti:

Tätä ideaa Paulin matriisien käyttämisestä kanta­vektoreina sovelletaan fysikaalisen avaruuden algebrassa, ja se on esimerkki Cliffordin algebrasta.

Nelivektorit aika-avaruuden algebrassa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aika-avaruuden algebra on toinen esimerkki Cliffordin algebrasta. Siinä myös gamma-matriisit voivat muodostaa kannan. Niitä sanotaan myös Diracin matriiseiksi, koska ne esiintyvät Diracin yhtälössä. Gamma-matriisit voidaan muodostaa usealla eri tavalla.

Feynmanin slash-notaatio on eräs lyhyt merkitätapa nelivektorille A gammamatriisien avulla:

Gammamatriisien avulla lyhyesti kirjoitettu neliliikemäärä on tärkeä relati­visti­sessa kvantti­mekaniikassa ja relati­visti­sessa kvantti­kenttä­teoriassa. Diracin yhtälössä ja muissa rela­tivisti­sissa aalto­yhtälöissä esiintyy muotoa

olevia termehä, joissa energia­komponentti E ja liike­määrä­komponentit (px,py, pz) korvataan niitä vastaavilla operaattoreilla.

Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Four-vector

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Øyvind Grøn & Sigbjorn Hervik: Einstein's General Theory of Relativity: With Modern Applications in Cosmology, s. 52. Springer, 2007. ISBN 9780387691992. (englanniksi)
  2. Joseph Gallant: Doing Physics with Scientific Notebook: A Problem Solving Approach, s. 387. John Wiley & Sons, 2012. ISBN 9781119941569. (englanniksi)
  3. Relativity DeMystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (BSA), 2006, ISBN 0-07-145545-0
  4. Alexander Voitkiv ja Joachim Ulrich: Relativistic collisions of structured atomic particles, s. 53. Springer, 2008. ISBN 9783540784203. (englanniksi)
  5. T. Morii, C. S. Lim ja S. N. Mukherjee: The physics of the standard model and beyond, s. 249. World Scientific, 2004. ISBN 9789810245719. (englanniksi)
  6. C. B. Parker: McGraw Hill Encyclopaedia of Physics, 2. painos, s. 1333. McGraw Hill, 1994. ISBN 0-07-051400-3.
  7. Gravitation, J.B. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, ISAN 0-7167-0344-0
  8. Dynamics and Relativity, J.R. Forshaw, B.G. Smith, Wiley, 2009, ISAN 978-0-470-01460-8
  9. Relativity DeMystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (ASB), 2006, ISAN 0-07-145545-0
  10. Jean-Bernard Zuber & Claude Itzykson, Quantum Field Theory, s. 5 , ISBN 0-07-032071-3
  11. Charles W. Misner, Kip S. Thorne & John A. Wheeler,Gravitation, s. 51, ISBN 0-7167-0344-0
  12. George Sterman, An Introduction to Quantum Field Theory, pg 4 , ISBN 0-521-31132-2
  13. Dynamics and Relativity, J.R. Forshaw, A.G. Smith, Wiley, 2009, ISBN 978-0-470-01460-8
  14. Relativistic heat conduction. Int. J. Heat Mass Trans., 2005, 48. vsk, nro 12. doi:10.1016/j.ijheatmasstransfer.2005.02.003.
  15. J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne: Gravitation, s. 558-559. W.H. Freeman & Co, 1973. ISBN 0-7167-0344-0.
  16. J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne: Gravitation, s. 567. W.H. Freeman & Co, 1973. ISBN 0-7167-0344-0.
  17. J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne: Gravitation, s. 558. W.H. Freeman & Co, 1973. ISBN 0-7167-0344-0.
  18. Vladimir G. Ivancevic, Tijana T. Ivancevic (2008) Quantum leap: from Dirac and Feynman, across the universe, to human body and mind. World Scientific Publishing Company, ISBN 978-981-281-927-7, p. 41
  19. J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne: Gravitation, s. 1142-1143. W.H. Freeman & Co, 1973. ISBN 0-7167-0344-0.