Gradientti

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Kahden muuttujan funktion gradientti ilmaistuna vektorikenttänä. Väri kuvaa funktion arvoa (isot punaisella, pienet sinisellä) ja vektorit gradienttia kussakin pisteessä.

Gradientti on matemaattinen differentiaalioperaattori, joka on määritelty usean muuttujan skalaarifunktioille . Gradientti ilmaisee funktion suurimman muutosnopeuden (gradienttivektorin pituus) ja tämän suurimman muutoksen suunnan. Funktio kasvaa voimakkaimmin gradientin suuntaan ja vähenee voimakkaimmin negatiivisen gradientin suuntaan.[1]

Karteesisessa koordinaatistossa gradientti on vektori, jonka komponentteina ovat funktion osittaisderivaatat. Esimerkiksi kolmen muuttujan funktion gradientti merkitään tai ja määritellään

,

missä ja -komponenttien kertoimet ovat funktion osittaisderivaattoja muuttujien ja suhteen. Yleisen muuttujan funktion gradientti määritellään

,

missä on funktion muuttujien muodostama vektori

.

Gradienttia voidaan pitää derivaatan yleistyksenä usean muuttujan funktioille. Gradientti on erikoistapaus Jacobin matriisista, joka on määritelty monen muuttujan vektoriarvoisille funktioille .

Määritelmiä ja laskusääntöjä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Differentiaali[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yhden muuttujan tapauksessa funktion differentiaali määriteltiin

,

ja yleisesti funktion differentiaali määritellään gradientin avulla

,

missä piste kuvaa kahden vektorin pistetuloa.

Suunnattu derivaatta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Gradientin avulla voidaan määrittää helposti myös suunnattu derivaatta: Funktion suunnattu derivaatta vektorin suuntaan on

,

missä on :n suuntainen yksikkövektori (vektori, jonka pituus on yksi). Pistetulo on suurin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa gradientin suuntaan ja pienin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa negatiivisen gradientin suuntaan.[2]

Ketjusääntö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Mikäli funktion muuttujat riippuvat esimerkiksi parametrista t, eli

,

saadaan funktion derivaatta parametrin suhteen gradientin avulla lausekkeesta

,

missä siis

.

Tämä tunnetaan niin sanottuna ketjusääntönä.

Gradientti käyräviivaisissa koordinaatistoissa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Napakoordinaatistossa annetulle funktiolle gradientti on

,

sylinterikoordinaatistossa

sekä pallokoordinaatistossa

.

Huomaa, että viimeinen laskusääntö on pätevä pallokoordinaatistossa, jossa muunnoskaavat ovat

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Adams, Robert A.: ”12.7 Gradients and Directional Derivatives”, Calculus: A Complete Course, s. 680. Pearson: Addison Wesley, 6. painos.
  2. Adams, Robert A.: ”12.7 Gradients and Directional Derivatives”, Calculus: A Complete Course, s. 681. Pearson: Addison Wesley, 6. painos.

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]