Gradientti

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Gradientti on matemaattinen differentiaalioperaattori, joka operoi skalaarifunktioihin (kts. myös roottori ja divergenssi). Kolmen muuttujan funktion gradientti merkitään grad(f) tai ja määritellään

,

missä ”varoituskolmio” luetaan ’nabla’ ja derivaatat ovat osittaisderivaattoja eri muuttujien suhteen. Tavallisen yhden muuttujan derivaattaoperaattorin analogia esimerkiksi kolmen muuttujan tapauksessa on siis

.

Yleisen n muuttujan funktion gradientti määritellään

,

missä siis

.

Gradientti on derivaatan yleistys funktioille , ja seuraava askel funktioille on niin sanottu Jacobin matriisi. Gradientti on ”täysiverinen” vektori.selvennä Osoittautuu myös, että funktio kasvaa voimakkaimmin gradientin suuntaan ja vähenee voimakkaimmin negatiivisen gradientin suuntaan.[1]


Gradientin avulla tehtyjä määritelmiä ja laskusääntöjä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Differentiaali[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yhden muuttujan tapauksessa funktion differentiaali määriteltiin

,

ja yleisesti funktion differentiaali määritellään gradientin avulla

,

missä piste kuvaa kahden vektorin pistetuloa.

Suunnattu derivaatta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Gradientin avulla voidaan määrittää helposti myös suunnattu derivaatta: Funktion suunnattu derivaatta vektorin suuntaan on

,

missä on :n suuntainen yksikkövektori (vektori, jonka pituus on yksi). Pistetulo on suurin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa gradientin suuntaan ja pienin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa negatiivisen gradientin suuntaan.[2]

Ketjusääntö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Mikäli funktion muuttujat riippuvat esimerkiksi parametrista t, eli

,

saadaan funktion derivaatta parametrin suhteen gradientin avulla lausekkeesta

,

missä siis

.

Tämä tunnetaan niin sanottuna ketjusääntönä.

Gradientti käyräviivaisissa koordinaatistoissa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Napakoordinaatistossa annetulle funktiolle gradientti on

,

sylinterikoordinaatistossa

sekä pallokoordinaatistossa

.

Huomaa, että viimeinen laskusääntö on pätevä pallokoordinaatistossa, jossa muunnoskaavat ovat

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Adams, Robert A.: ”12.7 Gradients and Directional Derivates”, Calculus: A Complete Course, s. 680. Pearson: Adisson Wesley, 6. painos.
  2. Adams, Robert A.: ”12.7 Gradients and Directional Derivates”, Calculus: A Complete Course, s. 681. Pearson: Adisson Wesley, 6. painos.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]