Normi (matematiikka)

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Yksikköympyröitä eri normeissa.

Matematiikassa normi on itseisarvon käsitteen yleistys, "vektorin pituus". Normi on kuvaus, joka asettaa jokaista lineaariavaruuden alkiota vastaamaan reaaliluvun. Tietyssä mielessä normi määrittää vektorin etäisyyden origosta, jota voi intuitiivisesti hahmottaa vektorin pituutena. Esimerkiksi -tason vektoreille käytetään yleensä Pythagoraan lausetta vastaavaa normia .

Määritelmä[1][muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon lineaariavaruus kerroinkuntana . Tällöin kuvaus on normi (joukossa X), jos se toteuttaa seuraavat ehdot

  1. kaikilla ,
  2. jos ja vain jos (=nollavektori),
  3. Kuvaus p on skaalautuva: kaikilla ja ,
  4. Kuvaus p toteuttaa ns. kolmioepäyhtälön: kaikilla .

Normia p merkitään usein kirjallisuudessa symbolilla ja sen arvoa . Jos lineaariavaruuteen X on määrätty normi p, niin paria (X,p) kutsutaan normiavaruudeksi.

Seminormi on kuvaus, joka toteuttaa normin kaikki muut ehdot paitsi ehdon 2.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jokainen normiavaruus on luonnollisella tavalla metrinen avaruus. Nimittäin jos on normiavaruus, niin kuvaus , on metriikka. Kutsumme tämmöisen ns. normimetriikan virittämää topologiaa tavalliseksi topologiaksi.

Metrisenä avaruutena normiavaruuteen voidaan myös määritellä ns. yksikköympyrä. Normiavaruuden x-keskinen, r-säteinen yksikköympyrä on joukko . Vaihtamalla siis normia avaruudessa X saamme aina mahdollisesti erilaisia yksikköympyröitä. Oheisissa kuvissa on joukon erilaisten normien määräämiä yksikköympyröitä.

Esimerkkejä normeista[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Euklidinen normi joukossa :
  • - ja -normit:

- Jonoavaruuden osajoukon -äärellisten jonojen joukon ns. -normi saadaan kaavasta

- Funktioavaruuden ns. -normi saadaan kaavasta

  • Maksiminormit rajoitettujen jonojen avaruudessa ja oleellisesti rajoitettujen funktioiden avaruudessa :
    ja

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Rynne, B. P., Youngson, M. A.: ”2. Normed Spaces”, Linear Functional Analysis, s. 31. Springer, 2000.

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. Opintomoniste 15. Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7.