Nabla

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Nabla-symboli
Harppu, josta nabla on saanut nimensä

Nabla on differentiaalilaskennassa käytetty, kärjellään seisovan tasasivuisen kolmion muotoinen symboli \nabla (∇). Sillä voidaan merkitä sekä skalaarifunktion gradienttia että vektorifunktion divergenssiä tai roottoria.

Nimi nabla johtuu erään harppua muistuttavan soittimen kreikankielisestä nimestä, joka on lainattu hepreasta.[1] Symboli muistuttaa muodoltaan tätä soitinta.

Merkitykset[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kolmiulotteisessa karteesisessa koordinaatiossa \scriptstyle \mathbb{R}^3, jonka koordinaatit ovat (x, y, z), nabla määritellään osittaisderivaattojen avulla seuraavasti:

\nabla = {\partial \over \partial x} \mathbf{i}  + {\partial \over \partial y} \mathbf{j} + {\partial \over \partial z} \mathbf{k},[2]

missä \scriptstyle \{\mathbf{i},  \mathbf{j},\mathbf{k} \} ovat x-, y- ja z-akselien suuntaiset yksikkövektorit. Määritelmä voidaan kuitenkin yleistää kuinka moniulotteiseen euklidiseen avaruuteen tahansa.

Vaikka \scriptstyle {\partial \over \partial x}, \scriptstyle {\partial \over \partial y} ja \scriptstyle {\partial \over \partial z} ovat funktion osittaisderivaattoja tarkoittavia operaattoreja, niitä voidaan määritelmissä muodollisesti käsitellä ikään kuin ne olisivat kertoimina esiintyviä lukuja[2] ja samoin nablaa ikään kuin se olisi vektori.

Gradientti[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: Gradientti

Kun nablasymboli esiintyy avaruudessa \scriptstyle \mathbb{R}^3 määritellyn skalaarifunktion edessä, se tarkoittaa funktion gradienttia, joka määritellään seuraavasti:

\mbox{grad}\, f = \nabla f = {\partial f \over \partial x} \mathbf{i} + {\partial f \over \partial y} \mathbf{j} + {\partial f \over \partial z} \mathbf{k}.

Funktion f gradientti on vektorifunktio, joka osoittaa siihen suuntaan, jossa f kasvaa nopeimmin eli sen derivaatta tähän suuntaan saa maksimiarvonsa, ja sen suuruus on tämän funktion muuttumisnopeus kyseisessä suunnassa.[2] Havainnollisena esimerkkinä voidaan ajatella funktiota f, joka tarkoittaa maaston korkeutta maan päällä pisteessä, jonka koordinaatit ovat (x,y). Tämän funktion gradientti osoittaa tällöin, missä suunnassa mäki on jyrkin ja kuinka suuri on sen kaltevuuskulman tangentti.

Divergenssi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: Divergenssi

Vektoriarvoisen funktion eli vektorikentän divergenssi voidaan muodollisesti määritellä nablan ja itse funktion pistetulona. Jos funktio on

 \vec v = v_x \mathbf{i}  + v_y \mathbf{j} + v_z \mathbf{k} ,

sen divergenssi on:

\mbox{div}\,\vec v = \nabla \cdot \vec v = {\partial v_x \over \partial x} + {\partial v_y \over \partial y} + {\partial v_z \over \partial z} .[3]

Divergenssi on siis skalaarifunktio, samoin kuin vektorien pistetulokin on skalaari. Divergenssi ilmoittaa käytännössä, kuinka voimakkaasti vektorifunktio kasvaa tai vähenee vektorin suuntaan mentäessä.

Roottori[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: Roottori (matematiikka)

Avaruudessa \scriptstyle \mathbb{R}^3 määritellyn vektoriarvoisen funktion roottori voidaan muodollisesti määritellä nablan ja funktion ristitulona. Funktion

\vec{v}(x, y, z) = v_x\mathbf{i}  + v_y\mathbf{j} + v_z\mathbf{k}

roottori on siis:

\mbox{curl}\;\vec v = \nabla \times \vec v = \left( {\partial v_z \over \partial y} - {\partial v_y \over \partial z} \right) \mathbf{i} + \left( {\partial v_x \over \partial z} - {\partial v_z \over \partial x} \right) \mathbf{j} + \left( {\partial v_y \over \partial x} - {\partial v_x \over \partial y} \right) \mathbf{k}.[4]

Funktion roottori on siis toinen vektoriarvoinen funktio. Se osoittaa, mihin suuntaan ja kuinka voimakkaasti alkuperäinen funktio on pyörteinen.

Määritelmä voidaan esittää lyhemmin kolmirivistä determinanttia muistuttavassa muodossa:

\nabla \times \vec v = \left|\begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[2pt] {\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\[2pt] v_x & v_y & v_z \end{matrix}\right|[4]

Fysiikassa sekä divergenssi- että roottorioperaattorit esiintyvät muun muassa Maxwellin yhtälöissä.

Laplacen operaattori[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: Laplacen operaattori

Laplacen operaattori on skalaariarvoinen operaattori, jota voidaan soveltaa sekä skalaari- että vektoriarvoisiin funktioihin. Se määritellään seuraavasti:

\Delta = {\partial^2 \over \partial x^2} + {\partial^2 \over \partial y^2} + {\partial^2 \over \partial z^2}.

Sekin voidaan esittää myös nablan avulla:

\Delta = \nabla \cdot \nabla = \nabla^2.

Laplacen operaattori esiintyy matemaattisessa fysiikassa monissa yhteyksissä kuten Laplacen yhtälössä, yleisessä aaltoyhtälössä ja Schrödingerin yhtälössä.

Tietotekniikka[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Unicodessa nablan koodi­arvo on U+2207. HTML:ssä se voidaan merkitä muodossa ∇ ja matemaattisten kaavojen kirjoittamiseen käytetyssä LaTeX-merkintäjärjestelmässä \nabla.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. The words of mathematics: An etymological dictionary Google Books. Viitattu 23.12.2011.
  2. a b c Olli Lehto: Differentiaali- ja integraalilaskenta II, s. 24-25. Limes ry, 1978.
  3. Lehto, s. 99
  4. a b Lehto, s. 69