Sähkökenttä

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Sähköisen dipolin sähkökenttäviivat, kentän suunta on positiivisesta varauksesta kohti negatiivista varausta.

Fysiikassa sähkökenttä on kenttä, jossa mahdollisesti oleviin sähkövarauksiin kenttä kohdistaa voiman. Sähkökenttä on vektorikenttä, ja sellainen muodostuu jokaisen sähkövarauksen ympärille sekä myös muuttuvan magneettikentän vaikutuksesta. Kahden sähkövarauksen välisen vuorovaikutuksen ajatellaan tapahtuvan niin, että toinen niistä synnyttää ympärilleen sähkökentän, joka kohdistaa toiseen voiman.

Sähkökenttää voidaan kuvata kenttäviivoilla, jotka sopimuksen mukaan alkavat positiivisista ja päättyvät negatiivisiin varauksiin[1], elleivät ne ulotu äärettömän kauas. Kenttäviivat eivät leikkaa toisiaan. Jos positiivinen ja negatiivinen varaus ovat erittäin lähellä toisiaan, niin että ne muodostavat sähködipolin, tarpeeksi kaukana niiden kentät kumoavat toisensa ja kentän voimakkuus on nolla. Tästä syystä esimerkiksi neutraalin atomin sähkökenttä ei juuri ulotu atomin ulkopuolelle, vaikka siinä on sekä positiivisia että negatiivisia varauksia. Samoin kondensaattorin sähkökenttä on käytännöllisesti katsoen kokonaan sen levyjen välissä, sillä muualla levyjen vastakkaisten varausten aiheuttamat kentät kumoavat toisensa.

Koska sähkökentän voimakkuus määritellään hiukkasiin kohdistuvan voiman ja niiden varauksen suhteena, on sen yksikkö SI-järjestelmässä newton/coulombi (N/C). Kun newton toisaalta on sama kuin yksi joule metriä kohti ja voltti sama kuin yksi joule coulombia kohti, voidaan sähkökentän voimakkuuden yksikkönä käyttää myös volttia metriä kohti (V/m), kuten yleensä onkin tapana. Yksiköt 1 N/C ja 1 V/m ovat yhtä suuret.

Sähkökentän idean esitteli alun perin Michael Faraday.

Varausta ympäröivä sähkökenttä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Coulombin lain mukaan kahden pistemäisen sähkövarauksen välillä vaikuttaa voima

, jossa
  • on fyysinen vakio, sähkövakio eli tyhjiön permittiivisyys,
  • ja ovat kohteiden sähkövaraukset,
  • on kohteiden välinen etäisyys,
  • on yksikkövektori, joka osoittaa varauksesta toiseen.

Kansainvälisessä yksikköjärjestelmässä voiman yksikkö on newton, varauksen coulombi ja etäisyyden metri, joten :n yksikkö on C²/Nm².

Jos oletetaan, että toinen näistä varauksissa pysyy paikallaan sekä muuttumattomana ja toista käytetään testivarauksena, Coulombin lain mukaan tähän testivaraukseen kohdistuva voima on suoraan verrannollinen testivarauksen suuruuteen. Tämä verrannollisuuskerroin on määritelmän mukaisesti toisen sähkövarauksen aiheuttaman sähkökentän voimakkuus testivarauksen kohdalla, joten

Tämä yhtälö pitää paikkansa ainoastaan silloin kun varaukset eivät liiku. Edellisestä nähdään myös, että pistemäisen sähkövarauksen aiheuttaman kentän suuruus jossain pisteessä on käänteisesti verrannollinen etäisyyden neliöön. Testivarauksen avulla on kuitenkin sähkökentän olemassaolo jossakin paikassa kokeellisesti todettavissa, vaikka ei tunnettaisikaan sitä varausta, joka saa kentän aikaan.

Jos varaus ei ole pistemäinen, se voidaan ajatella jaettavaksi pieniin osiin, varausalkioihin, joista kukin aiheuttaa ympärille oman sähkökenttänsä, ja koko systeemin aikaansaaman sähkökentän voimakkuus saadaan laskemalla jokaisen varausalkion aikaansaamat kenttävoimakkuudet integroimalla yhteen:

missä on varaustiheys kussakin pisteessä ja kunkin pisteen paikkavektori. Jos kuitenkin varaus on pallosymmetrinen, sen aikaansaama sähkökenttä pallopinnan ulkopuolella on yhtä suuri kuin jos varaus olisi kokonaan keskittynyt pallon keskipisteeseen.

Edellä esitetyistä yhtälöistä seuraa myös Maxwellin ensimmäinen yhtälö, jonka mukaan sähkökentän voimakkuuden divergenssi on yhtä suuri kuin varaustiheys jaettuna sähkövakiolla:

Jos varausta ympäröi väliaine, sitä ympäröivä sähkökenttä on yleensä heikompi kuin jos se olisi tyhjiössä. Tällöin edellä esitetyissä yhtälöissä esiintyvä sähkövakio on korvattava kyseisen väliaineen permittiivisyydellä .

Sähkökentän voimakkuuden ohella käytetään sähkökenttää kuvaavana matemaattisena apusuureena myös sähkövuon tiheyttä D. Se on määritelty niin, että sen divergenssi on kaikkialla yhtä suuri kuin varaustiheys, ja sen yksikkö on coulombi neliömetriä kohti, C/m2. Tyhjiössä sähkökentän voimakkuuden ja sähkövuon tiheyden suhde on aina sähkövakion suuruinen.

Johde sähkökentässä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Positiivisesta pistemäisestä varauksesta lähtevät kenttäviivat, kun lähellä on tasainen johdelevy

Kun johteessa ei kulje sähkövirtaa, sähkökenttä sen sisällä on aina nolla. Kun johdekappale viedään sähkökentään, sen sisälle syntyy hyvin lyhytaikaisia järjestäytymisvirtoja, joiden tuloksena syntyy tasapainotilanne siten, että johdekappaleen pinnalle syntyy toiselle puolelle negatiivinen, toiselle puolelle positiivinen varaus, mutta kaikkialla kappaleen sisällä varaus on nolla. Nämä pintavaraukset syntyvät siten, että elektronit siirtyvät johteen sisällä niin, että toisella puolella niistä syntyy pinnalle vajaus, kun taas toisella puolella niitä kertyy pinnalle ylimäärin. Nämä pintavaraukset tulevat sen suuruisiksi, että niiden aikaansaama sähkökenttä kaikkialla johteen sisällä on yhtä suuri mutta vastakkais­suuntainen kuin ulkoinen kenttä. Täten se kumoaa ulkoisen sähkökentän johdekappaleen sisällä, sillä niiden summa on nolla. Samalla johdekappale muuttaa sähkökentän muotoa myös ulkopuolellaan, niin että kenttäviivat ovat joka puolella kohtisuorassa kappaleen pintaa vastaan.[2][3]

Eriste sähkökentässä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Toisin kuin johteessa, eristeessä ei ole vapaita varauksen­kuljettajia, koska siinä olevat elektronit ovat sidottuina atomeihinsa. Elektronit eivät siis pääse siirtymään niin, että ne kasaantuisivat kokonaan eristeen toiselle reunalle luodakseen oman ulkoista sähkökenttää vastakkaisen sähkökentän. Täten on mahdollista, että aineeseen syntyy nollasta poikkeava sähkökenttä.

Eristeen sisällä sähkökentän voimakkuuden ja sähkövuon tiheyden suhde on yhtä suuri kuin eristeaineen permittiivisyys eli aineen suhteellisen permittiivisyyden ja sähkövakion tulo. Eristeen rajapinnalla sähkökentän voimakkuuden pinnan suuntainen komponentti on jatkuva, mutta pintaa vastaan kohtisuora komponentti ei ole. Sähkövuon tiheyden laita taas on päinvastoin: sen pintaa vastaan kohtisuora komponentti on jatkuva, mutta pinnan suuntainen komponentti ei ole. Tämä eristeen aikaansaama sähkökentän muuttuminen aiheutuu sen atomien ja molekyylien polarisoitumisesta.[4]

Eristeen rajapinnalla kenttäviivojen tiheyden on ajateltava oleva verrannollinen nimenomaan sähkövuon tiheyteen, ei sähkökentän voimakkuuteen. Tällöin kenttäviivoja ei ala eristeen rajapinnalta eikä niitä pääty sinne, mutta ne tekevät pinnan kohdalla äkillisen mutkan.[4]

Todellisuudessa useimmat yleensä eristeinä pidetytkin aineet johtavat jonkin verran sähköä, joskin niiden johtavuus on hyvin pieni. Tämän vuoksi eristeissäkin syntyy vähitellen, joskin paljon hitaammin, vastaava tasa­paino­tilanne kuin johteissa siten, että sen pinnalle kertyy toiselle puolelle negatiivinen, toiselle puolelle positiivinen varaus ja kenttä kappaleen sisällä tulee nollaksi. Relaksaatioaika, jonka kuluessa tämä tilanne saavutetaan, on tällöin:

missä on eristeen permittiivisyys ja sen johtavuus.[5]

Sähköinen potentiaali[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Staattisen sähkökentän roottori on nolla, joten se on pyörteetön, konservatiivinen kenttä. Näin ollen kentälle voidaan määritellä potentiaali, toisin sanoen funktio , jonka divergenssi on sähkökentän voimakkuuden suuruinen: .[6] Tämä on täysin analoginen gravitaation potentiaalille.

Staattisen sähkökentän ja gravitaatiokentän vertailua[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Coulombin lain mukaan kahden sähkövarauksen välinen voima on

Lauseke muistuttaa muodotaan Newtonin gravitaatiolakia:

(missä ).

Kummassakin tapauksessa voima on siis verrannollinen etäisyyden neliöön. Tämän vuoksi sähkökenttä ja gravitaatiokenttä käyttäytyvät matemaattisesti monessa suhteessa samaan tapaan, niin että jommalle­kummalle johdetut tulokset pätevät myös toiselle. Niinpä tietyn muotoisen varausjakauman sähkökenttä on muodoltaan samanlainen kuin vastaavan muotoisen massa­jakauman gravitaatio­kenttä.[7]

Gravitaatiolla ja sähkökentällä on kuitenkin myös huomattavia eroja. Gravitaatio­voima vaikuttaa kaikkien kappaleiden, sähköinen voima vain varauksellisten kappaleiden välillä. Varaus voi olla positiivinen tai negatiivinen, kun taas massa on aina positiivinen. Tämän vuoksi gravitaatio­kentässä ei voi esiintyä tilanteita, jotka vastaisivat sähköisen dipolin kenttää tai erimerkkisiä varauksia vastaavien kenttien kumoutumista.[7]

Homogeeninen sähkökenttä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Homogeeninen sähkökenttä on sähkökenttä, jonka voimakkuus jollakin alueella on kaikkialla yhtä suuri. Likipitäen sellainen syntyy levykondensaattorin levyjen välille, kun se kytketään jännite­lähteeseen.[8]

Tämän kentän voimakkuus kaikkialla levyjen välissä on likipitäen

missä on levyjen välinen potentiaaliero ja d niiden välinen etäisyys. Vain levyjen reunojen läheisyydessä kenttä poikkeaa tästä selvästi. Miinusmerkki kaavassa johtuu siitä, että samanmerkkiset varaukset työntävät toisiaan luotaan, minkä vuoksi kenttään tuotu positiivinen varaus kokisi negatiivista levyä kohti suuntautuvan voiman, joka siis vaikuttaisi päinvastaiseen suuntaan kuin missä potentiaali kasvaa.

Sähkökentän energia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sähköstaattisen systeemin potentiaalienergia määritellään kaikkien sen sisäisten vuorovaikutusten potentiaali­energioiden summana. Se on yhtä suuri kuin se työ, joka on tehtävä siinä olevien varausten asettamiseksi paikoilleen. Esimerkiksi kondensaattorin potentiaalienergia on se energia, joka tarvitaan varauksen tuomiseksi siihen.

Voidaan osoittaa, että minkä tahansa sähkö­staattisen systeemin potentiaalienergia voidaan laskea integraalina

[9]

Erityisesti jos permittiivisyys koko systeemin alueella on vakio, lauseke yksinkertaistuu muotoon

Systeemin energia on siis verrannollinen kentän voimakkuuden neliön avaruusintegraaliin. Tämän vuoksi tilanne on mahdollista tulkita niinkin, että energia varastoituukin itse sähkö­kenttään, jonka energiantiheys on kaikkialla verrannollinen kenttä­voimakkuuden neliöön:

[9]

Yksinkertaisin tapaus on levykondensaattori, jonka kenttä on nolla muualla paitsi levyjen välissä, jossa se on vakio

eli kondensaattorin jännite jaettuna sen levyjen välisellä etäisyydellä. Kun tämä kerrotaan levyjen välisen alueen tilavuudella, saadaan kentän kokonais­energiaksi:

Kondensaattorin kapasitanssi on sen levyjen varauksen suhde niiden väliseen jännitteeseen:

Koska levykondensaattorin kapasitanssi on

missä A on sen levyjen pinta-ala ja d niiden välinen etäisyys, saadaan kondensaattorin energiaksi

= = \frac{1}{2} \epsilon \frac{QU}{C} \frac{A}{d} = \frac{1}{2} QU</math>

mikä onkin yhtä suuri kuin kondensaattorin varaamiseen tarvittava energia.

Elektrodynaamiset kentät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Elektrodynaamiset kentät ovat sähkökenttiä, joiden voimakkuus muuttuu ajan kuluessa esimerkiksi varauksen liikkeen vuoksi. Tällaisissa tapauksissa sähkökenttiä ei voida käsitellä erillään magneetti­kentästä.

Faradayn induktiolain mukaan muuttuva magneettikenttä indusoi aina pyörteisen sähkökentän. Tällainen sähkökenttä on täysin eri muotoinen kuin varausta ympäröivä staattinen sähkökenttä. Niinpä sen kenttäviivat ovat umpinaisia käyriä. Maxwellin kolmannen yhtälön mukaan tämän kentän roottori on yhtä suuri kuin magneetti­vuon tiheyden B muutos­nopeuden vastaluku:

[10]

Jos tällaisessa muuttuvan magneettikentän indusoimassa sähkö­kentässä on johdin­silmukka, siihen indusoituu sähkömotorinen voima, joka saa aikaan sähkövirran. Yhtenäisessä johde­kappaleessa kenttä saa aikaan pyörre­virtoja.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. I. S. Grant & W. R. Phillips: ”1.2”, Electromagnetism, 2. painos. Wiley, 2003. ISBN 0-471-92712-0. (englanniksi)
  2. David J. Griffths: ”2.5.1”, Introduction to Electrodynamics, 3. painos, s. 97. Prentice Hall, 1999. ISBN 0-13-805326-X. (englanniksi)
  3. Kaarle ja Riitta Kurki-Suonio: Vuorovaikutuksista kenttiin: Sähkömagnetismin perusteet, s. 98-99. Limes ry, 1989. ISBN 951-745-121-0.
  4. a b Kaarle ja Riitta Kurki-Suonio: Vuorovaikutuksista kenttiin: Sähkömagnetismin perusteet, s. 134-135. Limes ry, 1989. ISBN 951-745-121-0.
  5. Ismo V. Lindell, Ari Sihvola: Kenttäyhtälöt, s. 37. Otatieto, 2007. ISBN 978-951-672-354-2.
  6. Curl & Potential in Electrostatics Physics Pages. Viitattu 16.10.2015.
  7. a b Kaarle ja Riitta Kurki-Suonio: ”Rinnastus gravitaatioon”, Vuorovaikutuksista kenttiin: Sähkömagnetismin perusteet, s. 33-34. Limes ry, 1989. ISBN 951-745-121-0.
  8. Kaarle ja Riitta Kurki-Suonio: ”Kondensaattori”, Vuorovaikutuksista kenttiin: Sähkömagnetismin perusteet, s. 107-109. Limes ry, 1989. ISBN 951-745-121-0.
  9. a b Kaarle ja Riitta Kurki-Suonio: Vuorovaikutuksista kenttiin: Sähkömagnetismin perusteet, s. 138-142. Limes ry, 1989. ISBN 951-745-121-0.
  10. Paul G. Huray: Maxwell's Equations, s. 205. Wiley-IEEE, 2009. ISBN 0-470-54276-4. Teoksen verkkoversio.

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Lindell, Ismo; Sihvola, Ari: Sähkömagneettinen kenttäteoria 1. Staattiset kentät. Helsinki: Otatieto, 2013. ISBN 978-951-672-354-2.
  • Voipio, Erkki: Sähkö- ja magneettikentät. Moniste 381. Espoo: Otakustantamo, 1987. ISBN 951-672-038-2.