Gaussin laki sähkökentille

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Gaussin laki sähkökentille on Carl Friedrich Gaussin muotoilema vuonna 1835 ja se julkaistiin 1867. Gaussin laki antaa suljetun pinnan läpi virtaavan sähkövuon \Phi ja pinnan sisäänsä sulkeman sähkövarauksen välisen relaation [1], ja on yksi Maxwellin yhtälöistä. Sen integraalimuoto on:

\Phi = \oint_A \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = Q_A,

jossa \scriptstyle\mathbf{D} on sähkövuon tiheys (yksikkönä C/m2), \scriptstyle d\mathbf{A} on pinnan differentiaalisen neliön pinta-ala siten, että ulospäin suuntautuva normaalivektori määrää sen suunnan, \scriptstyle Q_{A} on pinnan sisäänsä sulkema varaus ja \scriptstyle\oint_A on pintaintegraali pinnan A yli.

Gaussin divergenssilauseen mukaan vektorikentän pintaintegraali suljetun pinnan A yli (eli kentän vuo) saadaan integroimalla divergenssiä pinnan sisäänsä sulkeman tilavuuden V yli, eli

 \oint_A \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{D} \ dV .

Pinnan sisäänsä sulkeman sähkövarauksen suuruus saadaan toisaalta integroimalla sähkövaraustiheyttä ρ (yksikkönä C/m3) saman tilavuuden yli, joten Gaussin laki saadaan muotoon

 \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{D} \ dV = \iiint_V \rho \ dV .

Koska tämä pätee kaikille suljetuille pinnoille, saadaan

\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho ,

jota kutsutaan lain differentiaalimuodoksi.

Yhteys Coulombin lakiin[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Coulombin laki seuraa Gaussin laista melko suoraan. Pistemäisen varauksen, jonka suuruus on q_1, aiheuttama sähkövuo r-säteisen pallopinnan yli on

 \Phi_E = 4 \pi r^2  |\mathbf{D}| .

Gaussin lain mukaan vuon suuruus on toisaalta \scriptstyle \Phi_E = q_1 , ja koska isotrooppisissa aineissa \scriptstyle \mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E} , saadaan pistevarauksen aiheuttaman sähkökentän E suuruudeksi

 | \mathbf{E} | = \frac{|q_1 |}{4 \pi \varepsilon r^2} .

Sähkökenttä kohdistaa varaukseen, jonka suuruus on \scriptstyle q_2 , voiman

 \mathbf{F} = q_2 \mathbf{E} ,

joten kahden varatun hiukkasen välisen voiman suuruudeksi saadaan lopulta

 |\mathbf{F}| = \frac{1}{4 \pi \varepsilon} \frac{|q_1 q_2|}{r^2} .

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. L.S. Grant & W. R. Phillips: ”1.4”, Electromagnetism, 2. painos. Wiley, 1974. ISBN 0-471-92712-0.
Tämä fysiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.