Pintaintegraali

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Pintaintegraalilla tarkoitetaan funktion integroimista yli pinnan. Se on määritelty vain :n pinnoille.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon yhtenäinen ja eräs :n derivoituva pinta. Olkoon joukko siten, että pinnan kuvaaja . Olkoon nyt funktio sellainen, että funktio ,

,

on integroituva yli joukon D. (huomaa, että koska on :n pinta, niin sen osittaisderivaattojen kaavat ovat :n vektoreita ja siis ristitulo voidaan määritellä niille). Nyt funktion pintaintegraali yli pinnan on luku

.

Sovelluksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos valitsemme nyt funktioksi , niin pintaintegraali antaa pinnan kuvaajan pinta-alan. Saamme siis pinnan kuvaajan pinta-alaksi kaavan

.

Esimerkiksi voimme laskea kolmiulotteisen r-säteisen pallon kuoren pinta-alan tällä kaavalla. Määritellään pinta ,

.

Huomataan, että pinnan kuvaaja on r-säteisen origokeskisen pallon ylempi kupu. Näin ollen koko pallon kuoren pinta-ala saadaan pinnan kaksinkertaisesta pinta-alasta. Lasketaan nyt pinnan osittaisderivaatat:

Näiden vektoreiden ristituloksi saadaan vektori:

ja edelleen sen normiksi

.

Näin ollen

.

(lopun integroinneissa käytetään apuna tasa-arvokäyrien teoriaa).

Vuopintaintegraali[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Määrittelemme lisäksi toisenlaisen integraalin, jota kutsutaan kirjallisuudessa vuopintaintegraaliksi tai usein vain lyhyesti vuoksi. Olkoon pinta ja joukko kuten edellä määriteltiin. Olkoon nyt funktio sellainen, että funktio ,

,

on integroituva yli joukon D. Nyt funktion vuopintaintegraali eli vuo läpi pinnan on luku

.

Vuopintaintegraaliin liittyy tärkeä ns. divergenssilause, jonka mukaan jos on avoin niin, että sen sulkeuma on kompakti, , missä on avoin ja on :n derivoituva pinta siten, että sen kuvaaja on joukon reuna , niin derivoituvan funktion vuo

.

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]