Konservatiivinen kenttä

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Konservatiivinen kenttä on vektorikenttä F, jolle pätee

missä:

  • on suljettu polku, jota pitkin integroimme

Jos F(x) on voimakenttä, tarkoittaa yllä oleva tulos, että tehty työ on nolla. Toisin sanoen työ riippuu vain polun alku- ja loppupisteistä, ei itse polusta. Esimerkki konservatiivisesta voimakentästä on painovoima.

Konservatiivinen kenttä ja skalaarikentän gradientti[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Voimme kirjoittaa konservatiiviselle vektorikentälle jollekin skalaarikentälle . Mikäli F(x) on voimakenttä, on potentiaalienergia (miinusmerkki on konventio; potentiaalienergia käsitetään sopimuksenmukaisesti negatiiviseksi). Lasketaan tehty työ, kun liikutaan polun läpi alkaen paikkavektorista x0 ja päättyen paikkavektoriin x1. Oletetaan, että voidaan parametrisoida parametrille . Täten

eli integraali riippuu vain alku- ja loppupisteistä.

  • Yleisesti jos , silloin .
  • Vastaavasti jos , silloin jollekin . Huomaa, että tämä ehto on paljon vahvempi, koska ei riitä, että jollekin .

Konservatiivinen kenttä ja eksaktit differentiaalit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Koska osoitimme juuri, että konservatiiviselle vektorikentälle , täten jos F on eksakti, eli , voimme kirjoittaa . Toisin sanoen vektorikenttä F on konservatiivinen, jos on eksakti.

Konservatiivinen kenttä ja roottori[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Konservatiiviselle vektorikentälle F pätee . Tämä on seurausta, koska konservatiivinen kenttä voidaan kirjoittaa skalaarikentän mukaan (kts. yllä):

koska ja .

Tästä tuloksesta pääsemme takaisin yllä oleviin tuloksiin Stokesin lauseen avulla. Koska , on minkä tahansa polun ympäri, joka rajaa pinnan S, jolle Stokesin lauseen mukaisesti . Täten F on konservatiivinen. (Pinnan S yksityiskohdilla ei ole erityisemmin väliä, koska .)