Eksakti differentiaali

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Eksakti differentiaali tarkoittaa yleistä differentiaalimuotoa , jolle löytyy jokin funktio f siten että:

.

Toisin sanoen on siis eksakti, mikäli ja vain mikäli .

Differentiaali on aina eksakti.




Tämä on seurausta, koska differentiaalille df on voimassa

on ja .

Koska , on oltava .

Tämä on sekä välttämätön että riittävä ehto eksaktille differentiaalille. Tämän voi osoittaa määrittelemällä mahdollinen funktio f integraalina ja sitten todistamalla, että sen määritelmä on yksiselitteinen.

Eksaktit differentiaalit ja differentiaaliyhtälöt[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

voidaan kirjoittaa muodossa . Jos on eksakti, eli on funktio f, jolle , on tällöin ja ratkaisu siten , missä on vakio.

Integrointitekijät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktiota kutsutaan integrointitekijäksi, mikäli se tekee epäeksaktista differentiaalimuodosta eksaktin, eli

on eksakti. Tällöin on oltava

josta

Tämä on yleensä erittäin vaikea ratkaista. Erikoistapauksessa saamme

joka on koherentti, mikäli oikea puoli on pelkästään x:n funktio. Samoin integrointitekijälle

jos oikea puoli on vain y:n funktio.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus. Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry, 2015. ISBN 978-952-7010-12-9, ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).