Potentiaalienergia

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Potentiaalienergia eli asemaenergia kuvaa kappaleen kykyä tehdä työtä asemansa ansiosta. Potentiaalienergiasta puhutaan, kun kappaleeseen vaikuttaa jokin konservatiivinen voima. Voima on konservatiivinen, jos se riippuu vain kappaleen paikasta ja sen tekemä työ kappaleen siirtyessä tietystä paikasta toiseen on riippumaton kappaleen kulkemasta reitistä.[1] Tällöin se ei muuta energiaa lämmöksi. Konservatiivisia voimia ovat muun muassa gravitaatiovoima ja jousivoima. Myös voima, jolla staattinen sähkökenttä vaikuttaa sähkövarauksiin, on konservatiivinen. Sitä vastoin esimerkiksi kitka ei ole konservatiivinen voima, sillä se muuttaa liike-energiaa lämmöksi.

Esimerkiksi kun kappale nostetaan pöydälle, energian säilymislain mukaisesti kappaleelle annettu kineettinen energia muuttuu Maan konservatiivisessa gravitaatiokentässä kappaleen potentiaalienergiaksi, joka taas muuttuu takaisin kineettiseksi energiaksi kappaleen pudotessa pöydältä.

Kappaleen potentiaali­energia ei ole yksi­käsitteisesti määritettävissä, vaan ainoastaan sen muutoksilla kappaleen siirtyessä paikasta toiseen on merkitystä. Tämän vuoksi on aina sovittava kohta, jossa potentiaalienergia määritellään nollaksi (esimerkiksi lattia). Potentiaalienergian tunnus on Ep tai U.

Yleisesti potentiaalienergia määritellään samoin kuin mekaaninen työ, joka on tehtävä siirrettäessä kappale pisteestä A pisteeseen B:

W_S = \int_{S}^{}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}.

Yleisessä tapauksessa työn määrä riippuu käytetystä reitistä, joten voima olisi integroitava kyseistä reittiä pitkin. Jos kuitenkin kaikki vaikuttavat voimat ovat konservatiivisia, kappaleen siirtämiseksi tarvittava työ määräytyy yksikäsitteisesti alku- ja lopputilan perusteella. Siksi kirjoitetaan


\Delta E_p = \int_{r_0}^{r}\mathbf F\cdot d\mathbf r, missä
  • E_p = potentiaalienergia
  • \mathbf{F} = vastustava konservatiivinen voima
  • r_0 = reitin alkupisteen etäisyys potentiaalikentän keskuksesta
  • \mathbf{r} = reitin loppupiste

Gravitaatiokenttä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Gravitaatiokentässä kappaleeseen vaikuttaa gravitaatiovoima, jonka suuruus lasketaan empiirisen yhtälön avulla seuraavasti. Kaava on tarkasti voimassa vain massapisteille ja homogeenisille pallomaisille kappaleille.

\mathbf{F} = G \cdot \frac{m_1 m_2}{r^2} = (G \frac{m_1}{r^2})\cdot m_2,[2] missä
  • \mathbf{F} = gravitaatiovoima kappaleiden 1 ja 2 välillä
  • \mathbf{r} = kappaleiden (keskipisteiden) välinen etäisyys
  • \mathbf{G} = kokeellinen gravitaatiovakio6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{kg}^2}

Kun kappale on lähellä Maan pintaa, siihen vaikuttava Maan vetovoima on yhtä suuri kuin sen massa kerrottuna putoamis­kiihtyvyydellä eli

  • F = mg.

Potentiaalienergian muutos esimerkiksi Maan gravitaatiokentässä on siten

\Delta E_p = \int_{r_0}^{r}F(r)\,dr = \int_{r_0}^{r}G \cdot \frac{m M}{r^2}\,dr = -G \cdot m M \cdot (\frac{1}{r} - \frac{1}{r_0}) = m\int_{r_0}^{r}g(r)\,dr.

missä g(r) on putoamiskiihtyvyys paikassa r. Riittävän pienillä matkoilla putoamiskiihtyvyys \mathbf{g} on jokseenkin vakio, eli sen muutokset eivät ole merkittäviä. Jos siis oletetaan, että kohtuullisilla siirtymillä putoamiskiihtyvyys todella käyttäytyy kuin vakio, voidaan kappaleen potentiaalienergiassa tapahtuvaa muutosta approksimoida seuraavasti:

\Delta E_p = m\int_{h_0}^{h}g(h)\,dh = mg\int_{h_0}^{h}\,dh = mgh - mgh_0, missä
  • \mathbf{m} = siirrettävän kappaleen massa
  • \mathbf{g} = keskimääräinen putoamiskiihtyvyys sillä korkeudella, jolla kappaletta siirretään (Maan pinnan lähellä noin 9,81 m/s2)
  • \mathbf{h} = kappaleen korkeus eli etäisyys niin sanotun vertailutason, nollapotentiaalin, suhteen.

Todella suurilla korkeuseroilla, kuten lennätettäessä rakettia avaruuteen, putoamiskiihtyvyyden arvon muutokset ovat jo niin merkittäviä, ettei potentiaalienergiaa voi enää äskeisellä tavalla approksimoida. Yleensä tämän pelkistetyn kaavan soveltaminen laskuissa antaa kuitenkin riittävän tarkkoja tuloksia.

Jousen potentiaalienergia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jousivoima on esimerkki harmonisesta voimasta, jonka suuruus on Hooken lain mukaisesti

\mathbf{F} = -kx, missä
  • \mathbf{F} = jousivoima
  • \mathbf{k} = jousen materiaalista ja rakenteesta riippuva jousivakio
  • \mathbf{x} = etäisyys tasapainoasemasta, jota kohti voima aina osoittaa

Jousen potentiaalienergia voidaan laskea määritelmän mukaan

E_p = \int_{0}^{x}F\,dx = \int_{0}^{x}kx\,dx = \frac{1}{2}kx^2.[3]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Kaarle ja Riitta Kurki-Suonio: Vuorovaikuttavat kappaleet - mekaniikan perusteet, s. 165-166. Limes r.y., 1995. ISBN 9517451679.
  2. Kurki-Suonio, s. 212
  3. Kurki-Suonio, s. 178