Työ (fysiikka)

Pieneen punnukseen kohdistuva voima $F$ tekee työn $W=Fs$ kun punnus nousee korkeudelle $s$.

Työ on fysikaalinen suure, joka kuvaa energian siirtymistä systeemien välillä tai energialajista toiseen voiman vaikutuksesta. Työn tunnuksena käytetään kirjainta W (englannin sanasta work), ja sen SI-yksikkö on energian yksikkö joule (tunnus J).

Yksinkertaisimmillaan työ on kappaleen siirtämiseksi tehtyä mekaanista työtä, joka lasketaan kappaleeseen vaikuttavan voiman ja kappaleen siirtymän matkan tulona:

Työ = voima × siirtymä,

olettaen että voima pysyy koko ajan samansuuruisena ja kappaleen liikkeen suuntaisena. Työ on skalaarinen suure, joten sillä ei ole suuntaa, ainoastaan etumerkki joka ilmaisee sen pyrkiikö voima kasvattamaan vai pienentämään kappaleen liike-energiaa. Kappaleeseen tehty työ voi mennä joko kappaleen kiihdyttämiseen tai kitkan ja muiden vastusvoimien voittamiseen. Ensimmäisessä tapauksessa työ siirtyy kappaleen liike-energiaksi, kun taas jälkimmäisessä tapauksessa se siirtyy kappaleen ja sen ympäristön sisäenergiaksi, kasvattaen niiden lämpötilaa. Ensimmäisessä tapauksessa kappale jatkaa kulkuaan työn tekemisen jälkeen, kun taas jälkimmäisessä tapauksessa se jää paikalleen.

Mekaanisen siirtotyön lisäksi muita työn muotoja ovat esimerkiksi kaasun paineen tekemä tilavuudenmuutostyö sekä sähkökentän sähkövarauksen siirtämiseksi tekemä työ. Konservatiivisen voiman, kuten painovoiman, tekemä työ ei riipu kappaleen kulkemasta reitistä, vaan ainoastaan kappaleen sijainnista tarkasteltavan prosessin alku- ja loppuhetkellä.

Työn merkitys suureena perustuu työ­­–energiaperiaatteeseen, jonka perusteella systeemin liike-energian muutos vastaa siihen tehtyä työtä. Mekaanisen energian käsitteen kautta tämä havainto yleistyy energian säilymislaiksi, johon läheisesti liittyvän termodynamiikan ensimmäisen pääsäännön mukaan suljetun systeemin sisältämän energian muutos vastaa siihen tehdyn työn ja siihen virtaavan lämmön summaa. Lämpö ja työ ovat molemmat tapoja siirtää energiaa systeemien välillä, ja niiden ero syntyy erottelusta mikroskooppisten ja makroskooppisten vapausasteiden välillä: Työllä tarkoitetaan makroskooppisten, järjestäytyneiden vapausasteiden kautta siirtyvää energiaa, kun taas lämpö on mikroskooppisten epäjärjestäytyneiden vapausasteiden kautta siirtyvää energiaa. Termodynamiikan sovelluksista yksi merkittävin on lämpövoimakone, esimerkiksi polttomoottori, joka muuttaa lämpöä työksi. Carnot'n kierto on hyötysuhteeltaan parhaan mahdollisen lämpövoimakoneen malli.

Työn käsite vakiintui mekaniikkaan 1800-luvulla. Ranskalainen insinööri Gaspard-Gustave Coriolis otti termin ranskankielisen termin quantité de travail eli työn määrä käyttöön nykymerkityksessään 1820-luvulla. Energian säilymislaki sekä työn ja lämmön vastaavuus kehitettiin samoihin aikoihin 1800-luvun alkupuoliskolla.

Mekaaninen työ

Vakiovoiman tekemä työ

Yksinkertaisimmillaan työ on voiman kappaleen siirtämiseksi tekemää mekaanista työtä. Vakiosuuruisen voiman $F$ kappaleeseen tekemä työ sen siirtyessä suoraviivaisesti pisteestä A pisteeseen B on

$W=F\,\Delta r$,

missä ${\Delta }r$ on kappaleen siirtymä matka. Mitä pidempi matka kappaletta siirretään, tai mitä suurempaa voimaa kappaleen siirtämiseksi käytetään, sitä suurempi on tehty työ.

Työtä voidaan tehdä esimerkiksi kappaleen nostamiseksi. Jos punnuksen massa on 1 kilogramma, siihen vaikuttavan painovoiman suuruus on noin 10 newtonia. Kun punnus nostetaan 2 metrin korkeudelle, on painovoiman voittamiseksi tehtävä työtä vähintään

$W=F\times h=10\,{\rm {N}}\times 2\,{\rm {m}}=20\,{\rm {J}}$,

missä energian yksikkö joule vastaa yhtä newtonmetriä. (1 J = 1 N·m). Saman kappaleen nostamiseksi kaksinkertaiselle korkeudelle tai kaksi kertaa painavamman kappaleen nostamiseksi samalle korkeudelle täytyy tehdä kaksinkertainen työ.

Kappaleen pitämiseksi paikoillaan tietyllä korkeudella ei tarvitse tehdä työtä sanan fysikaalisessa merkityksessä. Niinpä esimerkiksi punnuksen roikkuessa köyden varassa, köysi ei tee siihen työtä. Ihminen kuitenkin väsyy pitäessään raskasta punnusta paikoillaan ilmassa käsiensä varassa, sillä käsien lihassäikeet eivät pysy staattisena, vaan tekevät työtä jatkuvasti supistuessaan ja rentoutuessaan. Tämä työ ei kuitenkaan kohdistu punnukseen, vaan käden osasta toiseen.

Yllä voiman oletettiin olevan siirtymän suuntainen. Jos näin ei ole, lasketaan työ pistetulona

$W={\boldsymbol {F}}\cdot \Delta {\boldsymbol {r}}=F\Delta r\cos \alpha$,

missä ${\boldsymbol {F}}$ on kappaleeseen vaikuttava voimavektori, $\Delta {\boldsymbol {r}}$ on sen siirtymä alkupisteestä ${\boldsymbol {r}}_{A}$ loppupisteeseen ${\boldsymbol {r}}_{B}$, ja $\alpha$ on voiman ja siirtymän välinen kulma. Voimalle, joka on samansuuntainen kappaleen liikesuunnan kanssa, $\cos \alpha >0$ ja työn etumerkki on positiivinen: voima tekee tällöin positiivista työtä, pyrkien kasvattamaan kappaleen liike-energiaa. Kappaleen liikesuunnan kanssa vastakkainsuuntaiselle voimalle sen sijaan $\cos \alpha <0$, jolloin voima tekee negatiivista työtä ja jarruttaa kappaletta.

Sen sijaan voima, joka vaikuttaa liikettä vastaan kohtisuoraan, ei tee työtä, sillä $\cos \alpha =0$. Esimerkiksi tukivoimat eivät tee työtä kappaleen liikkuessa tasoa pitkin. Vaikka voima ei tekisikään työtä, se voi kuitenkin muuttaa kappaleen liikesuuntaa: ympyräradalla liikkuvaan kappaleeseen vaikuttava keskihakuvoima ei tee työtä jos radan säde pysyy vakiona.

Työ–energiaperiaate yhdelle hiukkaselle

Työn määritelmä voidaan perustella tarkastelemalla yksittäiseen hiukkaseen vaikuttavan voiman aikaansaamaa liike-energian muutosta. Hiukkasella tarkoitetaan tässä kappaletta, jolla ei ole minkäänlaista sisäistä rakennetta, joka voisi varastoida tai vapauttaa energiaa, vaan jonka energia määräytyy yksinomaan sen nopeuden ja paikan perusteella. Hiukkasen liike-energia on

$T={\frac {1}{2}}mv^{2}$,

missä $m$ on hiukkasen massa ja $v$ on sen nopeus. Liike-energian muutos pienellä aikavälillä ${\rm {d}}t$ vastaa differentiaalia

${\rm {d}}T=m{\frac {{\rm {d}}{\boldsymbol {v}}}{{\rm {d}}t}}\cdot {\boldsymbol {v}}\,{\rm {d}}t={\boldsymbol {F}}\cdot {\mathrm {d} }{\boldsymbol {r}}$,

missä toisessa vaiheessa käytettiin dynamiikan peruslakia, $m\,{{\rm {d}}{\boldsymbol {v}}}/{{\rm {d}}t}={\boldsymbol {F}}$, ja tunnistettiin ${\rm {d}}{\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {v}}\,{\rm {d}}t$ hiukkasen differentiaaliseksi siirtymäksi. Yllä ${\boldsymbol {F}}$ on hiukkaseen vaikuttava kokonaisvoima, ja ${\boldsymbol {v}}$ on hiukkasen nopeusvektori. Integroimalla tämä lauseke hiukkasen kulkeman polun yli, saadaan työ–energiaperiaate,

$\Delta T=T_{B}-T_{A}=W$,

jonka mukaan hiukkasen liike-energian muutos vastaa siihen vaikuttavan kokonaisvoiman tekemää työtä. Tässä $T_{A}$ ja $T_{B}$ ovat kappaleen liike-energiat prosessin alku- ja loppuhetkellä, ja kokonaisvoiman tekemä työ määritellään viivaintegraalina

$W=\int _{A}^{B}{\boldsymbol {F}}\cdot {\mathrm {d} }{\boldsymbol {r}}$.

Jos vaikuttava voima pysyy vakiona koko prosessin ajan, integraalimääritelmä pelkistyy tuloksi $W={\boldsymbol {F}}\cdot \Delta {\boldsymbol {r}}$, missä $\Delta {\boldsymbol {r}}$ on hiukkasen siirtymävektori.

Samoin kuin voimia, voidaan töitä laskea yhteen: Jos hiukkaseen vaikuttaa useita voimia, siten että kokonaisvoima on ${\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {F}}_{1}+{\boldsymbol {F}}_{2}+\dots$, voidaan hiukkaseen tehty työ laskea yksittäisten voimien tekemän työn summana:

$W=W_{1}+W_{2}+\dots$,

missä $W_{i}$ on $i$:nnen voiman hiukkaseen tekemä työ.

Konservatiiviset ja dissipatiiviset voimat

Yllä annettu muoto työ–energiaperiaatteesta ei ole ainoa mahdollinen, vaan se voidaan esittää eri muodossa jakamalla hiukkaseen vaikuttavat voimat kolmeen luokkaan: konservativiisiin, dissipatiivisiin ja ulkoisiin voimiin. Kokonaistyö saadaan näihin luokkiin kuuluvien voimien summana:

$W=W_{\text{kons}}+W_{\text{diss}}+W_{\text{ulk}}$.

Voimaa, jonka tekemä työ ei riipu kappaleen kulkemasta polusta kutsutaan konservatiiviseksi voimaksi. Konservatiivisen voiman tekemä työ voidaan ilmaista yksinkertaisesti hiukkasen loppu- ja alkupaikkaan liittyvien potentiaalienergioiden erotuksena

$W_{\rm {kons}}=-\Delta V=V({\boldsymbol {r}}_{A})-V({\boldsymbol {r}}_{B})$.

Konservatiivinen voima on potentiaalin $V$ gradientin vastaluku:

${\boldsymbol {F}}=-\nabla V$.

Yhtäpitävästi yllä annetun määritelmän kanssa oltaisiin voitu määritellä että voima, joka ei tee työtä suljetun polun yli, on konservatiivinen. Konservatiivisia voimia ovat esimerkiksi painovoima, sähköstaattinen voima ja Hooken lain mukainen jousivoima. Kaikki perusvuorovaikutukset ovat konservatiivisia. Potentiaaliin liittyvää energiaa kutsutaan hiukkasen potentiaalienergiaksi.

Systeemissä, jossa ei ole kitkavoimia ja johon ei vaikuta mikään ulkoinen voima, potentiaalienergia voi muuttua liike-energiaksi, ja takaisin. Vapaasti heiluvassa heilurissa tämä prosessi tapahtuu edestakaisin niin kauan kunnes kitkavoimat pysäyttävät sen: ylä-asennossa sillä ei ole lainkaan liike-energiaa, kun taas potentiaalienergia on silloin suurimmaan. Ala-asennossa heilurin potentiaalienergia puolestaan on pienimmillään ja liike-energia suurimmillaan. Heilurissa liike- ja potentiaalienergiat muuttuvat jatkuvasti, mutta sen mekaaninen energia eli liike-energian ja potentiaalienergian summa

$E=T+V$,

pysyy vakiona.

Kun hiukkaseen vaikuttaa dissipatiivisia voimia, voidaan työ–energiaperiaate esittää muodossa

$\Delta T+\Delta V=W_{\text{diss}}$.

Dissipatiiviset voimat ovat kitkavoimia ja muita vastusvoimia, jotka kuluttavat systeemin mekaanista energiaa. Kitkavoimien johdosta mekaaninen energia muuttuu lämpöenergiaksi.

Monen hiukkasen systeemi

Yllä on käsitelty tapausta, jossa yksittäinen hiukkanen liikkuu ulkoisessa potentiaalissa. Työ-energiaperiaate yleistyy suoraviivaisesti myös usean hiukkasen systeemeihin, jolloin systeemin kokonaisliike-energia on systeemin kaikkien hiukkasten liike-energioiden summa:

$T=T_{1}+T_{2}+\cdots$,

missä $T_{i}$ on $i$:nnen hiukkasen liike-energia. Kokonaisliike-energia koostuu kahdesta osasta, hiukkasten massakeskipisteen liike-energiasta, sekä yksittäisten hiukkasten suhteellisesta liike-energiasta massakeskipisteen suhteen.

Monen hiukkasen systeemissä potentiaalienergia $V$ sisältää hiukkasiin vaikuttavan ulkoisen potentiaalin lisäksi myös ne hiukkasten väliset vuorovaikutukset, jotka voidaan esittää potentiaalin avulla. Näin määriteltynä työ–energiaperiaate pätee yllä annetussa muodossa.

Lähteet

• Hugh D. Young, Roger A. Freedman, A. Lewis Ford: Sears and Zemansky's University physics 13th ed: Volume 1. Pearson Learning Solutions, 2012. ISBN 9781256355229. Lainattavissa Internet Archivesta.
• Steven C. Frautschi, Richard P. Olenick, Tom M. Apostol, David L. Goodstein: The Mechanical Universe : Introduction to Mechanics and Heat. Cambridge University Press, 1985. ISBN 978-0-521-30429-0. Lainattavissa Internet Archivesta.
• Randall D. Knight: Physics for Scientists and Engineers : With Modern Physics. Boston: Pearson, 2013. ISBN 9781269884105. Lainattavissa Internet Archivesta.
• Frederick Reif: Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. McGraw-Hill, 1963. ISBN 07-051800-9. Lainattavissa Internet Archivesta.

Aiheesta muualla

• Energia Opetus.tv. 10.9.2015. Viitattu 14.6.2022.
• Vol. I Ch. 13: Work and Potential Energy (A) The Feynman Lectures on Physics. Viitattu 12.6.2022.
• Vol. I Ch. 14: Work and Potential Energy (conclusion) The Feynman Lectures on Physics. Viitattu 12.6.2022.

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Työ (fysiikka) Wikimedia Commonsissa