Kiihtyvyys

Kuvaajat vakiokiihtyvyydellä g kulkevalle kappaleelle. Matkan aikaderivaatta antaa nopeuden ja nopeuden aikaderivaatta antaa kiihtyvyyden.

Kiihtyvyys (tunnus $\mathbf {a}$) on fysikaalinen vektorisuure, joka kuvaa kappaleen nopeuden muutosta ajan funktiona. Vektorisuureena sillä on suunta ja suuruus, mutta lineaarista liikettä voidaan tarkastella skalaarisen kiihtyvyyden avulla. Kiihtyvyyden yksikkö on SI-järjestelmässä m/s². Putoamiskiihtyvyydelle maan pinnan läheisyydessä käytetään tunnusta $g$.

Kappaleen kiihtyvyys määritellään fysiikassa nopeuden ensimmäisenä ja toisaalta siirtymän (paikan muutos) toisena derivaattana ajan suhteen:

$\mathbf {\vec {a}} ={\frac {d\mathbf {\vec {v}} }{dt}}\ ={\frac {d^{2}\mathbf {\vec {s}} }{dt^{2}}},$

missä

• $\mathbf {\vec {a}}$ = kappaleen kiihtyvyysvektori
• $\mathbf {\vec {v}}$ = kappaleen nopeusvektori
• $\mathbf {\vec {s}}$ = kappaleen siirtymävektori
• t = aika.

Kappaleen keskikiihtyvyys on sen nopeuden muutos jaettuna aikavälin pituudella:

$\mathbf {a_{k}} ={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {\mathbf {v_{2}} -\mathbf {v_{1}} }{t_{2}-t_{1}}}$

Tästä huomataan, että mitä pienemmällä aikavälillä keskikiihtyvyyttä tarkastellaan, sitä tarkemmin se kuvaa todellista hetkellistä kiihtyvyyttä.

$\mathbf {a} =\lim _{t_{1}\to \ t_{2}}{\frac {\mathbf {v_{2}} -\mathbf {v_{1}} }{t_{2}-t_{1}}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}$

Tasainen ja tasaisesti kiihtyvä liike

Tasaisessa liikkeessä kiihtyvyys on nolla. Tasaisesti kiihtyvässä liikeessä kiihtyvyys on vakio, ja se voidaan yksinkertaisesti laskea keskikiihtyvyyden kaavalla

$\mathbf {a} ={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {\mathbf {v_{2}} -\mathbf {v_{1}} }{t_{2}-t_{1}}}.$

Jos tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä olevan kappaleen nopeus sovitulla hetkellä t₀ on v₀ ja kiihtyvyys samaan suuntaan on a, niin hetkellä t sen nopeus on $b=v_{0}+a(t-t_{0})$, ja tässä ajassa se on kulkenut matkan

$s=v_{0}(t-t_{0})+{\frac {a(t-t_{0})^{2}}{2}}$.

Tietyllä aikavälillä kappaleen keskikiihtyvyys on sen nopeuksien erotus aikavälin lopussa ja alussa jaettuna aikavälin pituudella:

$\mathbf {a} ={\frac {\mathbf {v_{2}} -\mathbf {v_{1}} }{t_{2}-t_{1}}}.$

Tasaisesti kiihtyvän liikkeen kiihtyvyys on siis koko ajan yhtä suuri kuin sen keski­kiihtyvyys. Muussa tapauksessa kappaleen hetkellinen kiihtyvyys saadaan sen keski­kiihtyvyyden raja-arvona, kun tarkasteltava aikaväli on mahdollisimman lyhyt.

Yksiulotteisessa liikkeessä suunta voidaan unohtaa ja kiihtyvyys on suoraan nopeuden kuvaajan $(t{,}v)$ tangentti. Tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä nopeus ajan funktiona piirrettynä antaa suoran, jonka kulmakertoimesta kiihtyvyys voidaan laskea. Kuvaaja voi olla kuitenkin monimutkaisempi, jos esimerkiksi piirretään auton nopeus ruuhkassa ajan funktiona. Tällöin kiihtyvyys ei ole vakio.

Kiihtyvyys ympyräliikkeessä

Kiihtyvyys ympyrä­liikkeessä voidaan jakaa kahteen komponenttiin, kappaleen tangentin suuntaiseen tangenttikiihtyvyyteen, sekä sitä vastaan kohti­suoraan (säteen suuntaiseen) normaali­kiihtyvyyteen. Molempia suureita tarkasteltaessa tärkeiksi työkaluiksi tulee kulma $\theta$, kulmanopeus ($\omega$) ja kulmakiihtyvyys ($\mathbf {\alpha }$). Kulmakiihtyvyys voidaan määrittää vastaavasti kuin kiihtyvyys kulmanopeuden ensimmäisenä ja toisaalta kulman muutoksen toisena derivaattana ajan suhteen

$\mathbf {\vec {\alpha }} ={\frac {d\mathbf {\vec {\omega }} }{dt}}\ ={\frac {d^{2}\mathbf {\vec {\theta }} }{dt^{2}}}$

Tangenttikiihtyvyys $\mathbf {a_{t}}$ ja normaalikiihtyvyys $\mathbf {a_{n}}$ voidaan ilmoittaa kulmanopeuden $\omega$, kulmakiihtyvyyden $\mathbf {\alpha }$ ja ympyrän säteen $r$ avulla:

$\mathbf {a_{t}} =\mathbf {\alpha } \cdot r$ ja $\mathbf {a_{n}} =\mathbf {\omega ^{2}} \cdot r$

Kiihtyvyys voi vaikuttaa sekä kappaleen vauhdin suuruuteen, että suunnan muutokseen. Jos tangentiaalikiihtyvyys on ympyräradalla kulkevan kappaleen nopeuden suuntainen, kappaleen vauhti kasvaa; jos se taas on vastakkais­suuntainen, liike hidastuu. Normaalikiihtyvyys taas vaikuttaa ympyräradan jyrkkyyteen eli siihen kuinka nopeasti kappaleen suunta muuttuu. Mitä suurempi normaalikiihtyvyys on, sitä pienemmällä ympyräradalla kappale liikkuu. Jos normaalikiihtyvyys putoaa nollaan, kappale poistuu ympyräradalta ja jatkaa tasaista suoraviivaista liikettä, ellei siihen vaikuta muita kiihtyvyyksiä.

Kiihtyvyys törmäyksissä

Törmäyksessä tapahtuvaa äkkinäistä nopeuden muutosta mitataan G-yksiköissä. 1 G on putoamiskiihtyvyys eli maan vetovoiman aiheuttama kiihtyvyys maan pinnalla, joka on noin 9,81 m/s². Esimerkiksi kirpun kokema hidastuvuus voi olla jopa 50 G:n suuruinen sen osuessa puunrunkoon siihen hypättyään. Tämä kiihtyvyys on SI-järjestelmän yksiköinä noin 50 · 9,81 m/s² = 490 m/s².

Kiihtyvyys ja dynamiikan peruslaki

Dynamiikan II. peruslain mukaan kappaleeseen kohdistuva kokonaisvoima aiheuttaa sille kiihtyvyyden.

$\sum {\vec {F}}=m{\vec {a}}$ , kun m on vakio

Katso myös

• G-voima
• Nopeus
• Nykäys
• Kulmakiihtyvyys

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Kiihtyvyys Wikimedia Commonsissa